補題 1.3.10.
\( B_1 \in M_{n_1}, \dots, B_d \in M_{n_d} \) が与えられ、次のように直和で構成される行列 \( B \) を考える。
B =
\begin{bmatrix}
B_1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & B_2 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & B_d
\end{bmatrix}
= B_1 \oplus \cdots \oplus B_d
このとき、\( B \) が対角化可能であることと、各 \( B_1, \dots, B_d \) が対角化可能であることは同値である。
証明.
もし各 \( i = 1, \dots, d \) に対して、ある正則行列 \( S_i \in M_{n_i} \) が存在し、\( S_i^{-1} B_i S_i \) が対角行列であるなら、\( S = S_1 \oplus \cdots \oplus S_d \) と定義すると、\( S^{-1} B S \) も対角行列になることが確認できる。
逆に、帰納法で証明する。\( d = 1 \) の場合は自明である。\( d \geq 2 \) とし、\( d - 1 \) 以下の直和について命題が成り立つと仮定する。
\( C = B_1 \oplus \cdots \oplus B_{d-1} \)、\( n = n_1 + \cdots + n_{d-1} \)、\( m = n_d \) とする。正則行列 \( S \in M_{n+m} \) が存在し、
S^{-1} B S = S^{-1} ( C \oplus B_d ) S = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_{n+m})
と書けるとする。この恒等式を \( B S = S \Lambda \) と書き直す。さらに、
S = [\, s_1 \; s_2 \; \cdots \; s_{n+m} \,], \quad
s_i = \begin{pmatrix} \xi_i \\ \eta_i \end{pmatrix} \in \mathbb{C}^{n+m},\
\xi_i \in \mathbb{C}^n,\ \eta_i \in \mathbb{C}^m
と分割する（\( i = 1, 2, \dots, n+m \)）。\( B s_i = \lambda_i s_i \) より、各 \( i \) に対して
C \, \xi_i = \lambda_i \, \xi_i, \quad B_d \, \eta_i = \lambda_i \, \eta_i
が成り立つ。
行列 \([\, \xi_1 \; \cdots \; \xi_{n+m} \,] \in M_{n,\,n+m}\) は、正則行列 \( S \) の最初の \( n \) 行で構成されるため、その行ランクは \( n \) である。よって列ランクも \( n \) であり、\(\xi_1, \dots, \xi_{n+m}\) の中に一次独立な \( n \) 個のベクトルが存在する。これらはすべて \( C \) の固有ベクトルであるため、定理 1.3.7 により \( C \) は対角化可能である。そして帰納法の仮定より、その直和成分 \( B_1, \dots, B_{d-1} \) もすべて対角化可能である。
同様に、行列 \([\, \eta_1 \; \cdots \; \eta_{n+m} \,] \in M_{m,\,n+m}\) の行ランクは \( m \) であるため、\(\eta_1, \dots, \eta_{n+m}\) の中に一次独立な \( m \) 個のベクトルが存在する。これらはすべて \( B_d \) の固有ベクトルであるので、\( B_d \) も対角化可能である。
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