1.2.P7
1.2.P7
\begin{align}
&p_A(t) \notag \\
&= t^n - E_1(A) t^{n-1} + \cdots \notag \\
& \quad \quad \cdots + (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) t + (-1)^n E_n(A) \notag
\end{align}(1.2.13) を用いて、次の三重対角行列の固有多項式を求めなさい。
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
また、この手法を一般の \( n \times n \) 三重対角行列の固有多項式を計算するために、どのように応用できるかを考察しなさい。
\begin{align} &p_A(t) \notag \\ &= t^n - E_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) t + (-1)^n E_n(A) \notag \\ \quad \tag{1.2.13} \end{align}
ヒント
式 \( p_A(t)=t^n-E_1(A)t^{n-1}+\cdots+(-1)^nE_n(A) \) において、\( E_k(A) \) は \( A \) のすべての \( k \times k \) 主小行列の行列式の和である。
三重対角行列では非零となる主小行列が限られるため、係数を系統的に計算できる。
解答例
与えられた行列を
A=
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
とする。まず \( E_1(A)=\mathrm{tr}(A)=5 \) である。
次に、三重対角行列の構造より、非零となる \( 2\times2 \) 主小行列は\({}_5 \mathrm{C}_2 = 10\) 個ある。
隣接する行と列から成るもの\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)が４個と、隣接しない行と列からなるも\( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)の6個に限られ、それぞれの行列式は \( 1\cdot1-1\cdot1=0, 1\cdot 1-0\cdot0=1\) である。したがって \( E_2(A)=6 \) である。
同様に、\( 3\times3 \) 以上の主小行列については、
連続する３つを選ぶ\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)タイプが3個、
連続する2つと離れている１つを選ぶ\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)タイプが6個、
３つとも離れている\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)タイプが1個あり、
それらの行列式を計算し合計すると、\( E_3(A)=-2 \)となる。同様にして、
E_1(A)= 5,\quad E_2(A)= 6,\quad E_3(A)= -2,\quad E_4(A)= -4,\quad E_5(A)=0
を得る。以上を式 (1.2.13) に代入すると、固有多項式は
p_A(t) = t^5-5t^4+6\cdot t^3-(-2)t^2+(-4)t+0 \\ = t^5-5t^4+6t^3+2t^2-4t
となる。
この方法は一般の \( n\times n \) 三重対角行列に対しても有効である。
非零となる主小行列が連続した行・列に対応するものに限られることを用いれば、\( E_k(A) \) を低次から順に計算でき、結果として固有多項式は漸化式により効率よく求められる。
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