[行列解析1.2.P20]行列式と基本対称式の関係

1.2.P20

1.2.問題20

任意の \( A \in M_n \) に対して、次を示せ：

\det(I + A) = 1 + E_1(A) + \cdots + E_n(A)

ここで、\(E_k(A)\) は \(A\) の固有値の \(k\) 個の組み合わせに対応する基本対称式である。

行列 \( A \) の固有値を用いると、行列式は固有値の積として表せる。

単位行列を加えたとき、固有値がどのように変化するかを考え、その積を展開することで基本対称式との関係が得られる。

\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1,\dots,\lambda_n \) とする。

このとき、単位行列 \( I \) を加えた行列 \( I+A \) の固有値は \( 1+\lambda_1,\dots,1+\lambda_n \) である。

したがって、行列式は \( \det(I+A)=(1+\lambda_1)\cdots(1+\lambda_n) \) と表される。

この積を展開すると、固有値の一次、二次、…、\( n \) 次の基本対称式が現れる。すなわち、

(1+\lambda_1)\cdots(1+\lambda_n) = 1 + \sum_{i}\lambda_i + \sum_{i\lt j}\lambda_i\lambda_j + \cdots + \lambda_1\cdots\lambda_n

右辺の各項は、それぞれ \( E_1(A),E_2(A),\dots,E_n(A) \) に一致する。

以上より、 \( \det(I + A) = 1 + E_1(A) + \cdots + E_n(A) \) が成り立つ。