1.2.P2
1.2.問題2
行列 \( A \in M_{m,n} \) と \( B \in M_{n,m} \) に対して、直接計算により \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \) を示せ。
任意の \( A \in M_n \) と正則な \( S \in M_n \) について、\( \mathrm{tr}(S^{-1}AS) = \mathrm{tr} A \) を導け。
また、任意の \( A, B \in M_n \) に対して行列式の乗法性を用い、\( \det(S^{-1}AS) = \det A \) を示せ。
これにより、行列式関数は相似変換に対して不変であることを結論づけよ。
ヒント
トレースは対角成分の和であり、積の成分表示を用いることで直接計算できる。
相似変換は \( A \) を \( S^{-1} \) と \( S \) で挟む操作であり、トレースや行列式の基本的な性質を用いて処理する。
解答例
まず \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) とする。積 \( AB \in M_m \) の第 \( i \) 行第 \( i \) 列成分は \( (AB)_{ii} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji} \) である。
したがってトレースは
\mathrm{tr}(AB)
= \sum_{i=1}^{m} (AB)_{ii}
= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{ji}.
同様に \( BA \in M_n \) に対して
\mathrm{tr}(BA)
= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} b_{ji} a_{ij}.
両者は有限和の順序を入れ替えただけであり等しい。よって \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \) が成り立つ。
次に \( A \in M_n \)、正則な \( S \in M_n \) とする。前半の結果を用いると \( \mathrm{tr}(S^{-1}AS) = \mathrm{tr}(AS S^{-1}) = \mathrm{tr}(A I) = \mathrm{tr} A \) である。
さらに行列式については、行列式の乗法性より
\det(S^{-1}AS)
= \det(S^{-1}) \det(A) \det(S)
= \det(A).
以上より、行列式は相似変換 \( A \mapsto S^{-1}AS \) に対して不変であることが分かる。
コメント