1.2.問題19
1.2.P19 \( A = [a_{ij}] \in M_n \) のすべての成分が 0 または 1 であり、\( A \) のすべての固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) が正の実数であると仮定する。このとき、\(\det A\) が正の整数である理由を説明せよ。さらに、次の詳細を示せ：
n \ge \mathrm{tr}\,A
= \frac{1}{n}(\lambda_1 + \cdots + \lambda_n)^n
\ge n(\lambda_1 \cdots \lambda_n)^{1/n}
= n(\det A)^{1/n} \ge n
これより、すべての \(\lambda_i = 1\)、すべての \(a_{ii} = 1\)、および \(\det A = 1\) であることを結論せよ。
行列解析の総本山
[行列解析]総本山
行列解析の総本山。行列解析の内容を網羅的かつ体系的に整理しています。線形代数の学習を一通り終えた方が、次のステップとして取り組むのに最適です。行列に関する不等式を研究するには、行列解析の知識が欠かせません。
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2025.08.05
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