1.2.問題16
1.2.P16 \( A \in M_n \) および \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。次を定義する：
f(t) = \det\left(A + t x y^T\right)
式 (0.8.5.11) を用いて、\( f(t) = \det A + \beta t \) が成り立つこと、すなわち \( f(t) \) が \( t \) に関して線形であることを示せ。ここで、\(\beta\) は何かを求めよ。
任意の \( t_1 \neq t_2 \) に対して、次を示せ：
\det A = \frac{t_2 f(t_1) - t_1 f(t_2)}{t_2 - t_1}
次に、次の行列を考える：
A =
\begin{bmatrix}
d_1 & b & \cdots & b \\
c & d_2 & & \vdots \\
\vdots & & \ddots & b \\
c & \cdots & c & d_n
\end{bmatrix}
\in M_n
ここで \( x = y = e \)（すべての成分が 1 のベクトル）、\( t_1 = b \)、\( t_2 = c \) とする。また、
q(t) = (d_1 - t)(d_2 - t) \cdots (d_n - t)
とおく。このとき、もし \( b \neq c \) ならば
\det A = \frac{b\, q(c) - c\, q(b)}{b - c}
が成り立ち、もし \( b = c \) ならば
\det A = q(b) - b\, q'(b)
が成り立つことを示せ。
さらに、もし \( d_1 = \cdots = d_n = 0 \) であれば、特性多項式 \( p_A(t) \) は \( b \neq c \) のとき
p_A(t) = \frac{b (t + c)^n - c (t + b)^n}{b - c}
となり、\( b = c \) のときは
p_A(t) = (t + b)^{n-1} \left( t - (n-1)b \right)
となることを示せ。
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