1.2.問題15
1.2.P15 \( A(t) \in M_n \) が与えられた連続な行列値関数であり、ベクトル値関数 \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \in \mathbb{C}^n \) がそれぞれ常微分方程式系
x_j'(t) = A(t) x_j(t)
を満たしているとする。ここで
X(t) = [\, x_1(t) \ \cdots \ x_n(t) \,], \quad W(t) = \det X(t)
とおく。(0.8.10) および (0.8.2.11) を用いて、次の議論を詳細に説明せよ。
\begin{aligned}
W'(t)
&= \sum_{j=1}^n \det \big( X(t) \ \xleftarrow{j} \ x_j'(t) \big) \\
&= \operatorname{tr} \left[ \det \big( X(t) \ \xleftarrow{i} \ x_j'(t) \big) \right]_{i,j=1}^n \\
&= \operatorname{tr} \left( (\operatorname{adj} X(t)) \, X'(t) \right) \\
&= \operatorname{tr} \left( (\operatorname{adj} X(t)) \, A(t) X(t) \right) \\
&= W(t) \, \operatorname{tr} A(t)
\end{aligned}
したがって、\( W(t) \) は次のスカラー微分方程式を満たす。
W'(t) = \operatorname{tr} A(t) \, W(t)
この解はロンスキアンのアーベル公式として知られ、
W(t) = W(t_0) \, \exp \left( \int_{t_0}^t \operatorname{tr} A(s) \, ds \right)
となる。したがって、もし \( t = t_0 \) においてベクトル \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \) が一次独立であるならば、すべての \( t \) において一次独立であることがわかる。
この議論の中で、恒等式 \( \operatorname{tr}(BC) = \operatorname{tr}(CB) \)（1.2.P2）をどのように用いたかを説明せよ。
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