[行列解析1.2.P15]ロンスキアンとアーベルの公式の導出

1.2.P15

1.2.問題15
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1.2.問題15

\( A(t) \in M_n \) が与えられた連続な行列値関数であり、ベクトル値関数 \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \in \mathbb{C}^n \) がそれぞれ常微分方程式系

x_j'(t) = A(t) x_j(t)

を満たしているとする。ここで

X(t) = [\, x_1(t) \ \cdots \ x_n(t) \,]\\ \quad W(t) = \det X(t)

とおく。

(0.8.10)

\frac{d}{dt} \det A(t) = \sum_{j=1}^{n} \det(A(t) \leftarrow_j a_j'(t))

\frac{d}{dt} \det A(t) = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} ((\operatorname{adj} A(t))^{\top})_{ij} \, a'_{ij}(t)

\frac{d}{dt} \det A(t) = \operatorname{tr}((\operatorname{adj} A(t)) \cdot A'(t))

\frac{d}{dt} \det(tI - A) = \operatorname{tr}(\operatorname{adj}(tI - A))

(0.8.2.11)

\det(A \leftarrow_i c_j)_{i,j=1}^n = (\mathrm{adj}\, A) C

(0.8.10) および (0.8.2.11) を用いて、次の議論を詳細に説明せよ。

\begin{aligned} W'(t) &= \sum_{j=1}^n \det \big( X(t) \ \xleftarrow{j} \ x_j'(t) \big) \\ &= \operatorname{tr} \left[ \det \big( X(t) \ \xleftarrow{i} \ x_j'(t) \big) \right]_{i,j=1}^n \\ &= \operatorname{tr} \left( (\operatorname{adj} X(t)) \, X'(t) \right) \\ &= \operatorname{tr} \left( (\operatorname{adj} X(t)) \, A(t) X(t) \right) \\ &= W(t) \, \operatorname{tr} A(t) \end{aligned}

したがって、\( W(t) \) は次のスカラー微分方程式を満たす。

W'(t) = \operatorname{tr} A(t) \, W(t)

この解はロンスキアンのアーベル公式として知られ、

W(t) = W(t_0) \, \exp \left( \int_{t_0}^t \operatorname{tr} A(s) \, ds \right)

となる。したがって、もし \( t = t_0 \) においてベクトル \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \) が一次独立であるならば、すべての \( t \) において一次独立であることがわかる。

この議論の中で、恒等式 \( \operatorname{tr}(BC) = \operatorname{tr}(CB) \)（1.2.P2）をどのように用いたかを説明せよ。

ヒント

行列式の微分公式 \( (0.8.10) \) と随伴行列の性質 \( (0.8.2.11) \) を用いると、行列 \( X(t) \) の列ベクトルごとの微分を行列式に反映できる。さらに、トレースの性質 \( \operatorname{tr}(BC)=\operatorname{tr}(CB) \) を用いることで計算を整理できる。