[行列解析1.2.P14]ブロック三角行列の特性多項式

1.2.P14

1.2.問題14

\( n \geq 3 \)、\( B \in M_{n-2} \)、および \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) とする。次のブロック行列

A = \begin{pmatrix} \lambda & * & * \\ 0 & \mu & 0 \\ 0 & * & B \end{pmatrix}

を考える。ただし、* の部分は必ずしも 0 とは限らない。このとき、

p_A(t) = (t - \lambda)(t - \mu) p_B(t)

であることを示せ。

特性多項式は \( p_A(t)=\det(tI-A) \) で定義される。

ブロック上三角行列の行列式は、対角ブロックの行列式の積として計算できることを用いる。

行列 \( A \) に対して \( tI-A \) を計算すると、

tI-A = \begin{pmatrix} t-\lambda & * & * \\ 0 & t-\mu & 0 \\ 0 & * & tI_{n-2}-B \end{pmatrix}

となる。これはブロック上三角行列であるため、その行列式は対角ブロックの行列式の積に等しい。

\det(tI-A) = \det(t-\lambda)\, \det(t-\mu)\, \det(tI_{n-2}-B)

ここで \( \det(t-\lambda)=t-\lambda \)、\( \det(t-\mu)=t-\mu \)、および \( \det(tI_{n-2}-B)=p_B(t) \) である。

p_A(t) = (t-\lambda)(t-\mu)p_B(t)

以上より、所望の等式が成り立つことが示された。