[行列解析1.2.P13]ボーダー付き行列の特性多項式と固有値の導出

1.2.P13

1.2.問題13
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1.2.問題13

\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( a \in \mathbb{C} \)、および \( B \in M_n \) とする。次のボーダー付き行列

A = \begin{pmatrix} B & x \\ y^* & a \end{pmatrix} \in M_{n+1}

について考える。

(a) 式 (0.8.5.10) を用いて、次式を示せ。

(1.2.19)

p_A(t) = (t - a) p_B(t) - y^* \operatorname{adj}(t I - B) x

(b) \( B = \lambda I_n \) のとき、次式を導け。

(1.2.20)

p_A(t) = (t - \lambda)^{n-1} \left[ t^2 - (a + \lambda) t + a\lambda - y^* x \right]

さらに、行列

\begin{pmatrix} \lambda I_n &x \\ y^* & a \end{pmatrix}

の固有値は、重複度 \( n - 1 \) の固有値 \( \lambda \) と、

\frac{a + \lambda \pm \sqrt{(a - \lambda)^2 + 4 y^* x}}{2}

で与えられる2つの固有値であることを結論づけよ。

ヒント

(a) では、行列 ( A ) の特性多項式 \( p_A(t) = \det(t I_{n+1} - A) \) をブロック行列の形式で書き下ろし、問題文で指定された行列式の展開公式を利用する。

具体的には、\( \det \begin{pmatrix} \tilde{B} & -x \ -y^* & t-a \end{pmatrix} = (t-a)\det \tilde{B} - (-y^*) \operatorname{adj}(\tilde{B}) (-x) \) の形に変形する。

(b) では、\( B = \lambda I_n \) を (a) の結果に代入する。
単位行列の定数倍に関する余因子行列の性質 \( \operatorname{adj}(k I_n) = k^{n-1} I_n \) を用いることで、共通因数 \( (t-\lambda)^{n-1} \) を括り出し、残りの 2 次式の根を求めることで固有値を特定する。

解答例

(a) 行列 ( A ) の特性多項式 \( p_A(t) \) は次のように定義される。

p_A(t) = \det(t I_{n+1} - A) = \det \begin{pmatrix} t I_n - B & -x \\ -y^* & t - a \end{pmatrix}

ここで、与えられた公式 \( \det \begin{pmatrix} \tilde{A} & x \\ y^{\top} & a \end{pmatrix} = a \det \tilde{A} - y^{\top} (\operatorname{adj} \tilde{A}) x \) において、\( \tilde{A} = t I_n - B \)、ベクトルを \( -x \) および \( -y^* \)、スカラーを \( t-a \) と置き換えると、次式を得る。

p_A(t) = (t - a) \det(t I_n - B) - (-y^*) \operatorname{adj}(t I_n - B) (-x)

\( \det(t I_n - B) = p_B(t) \) であり、末尾の項は \( (-y^*) \operatorname{adj}(t I_n - B) (-x) = y^* \operatorname{adj}(t I_n - B) x \) と整理できるため、次式が示された。

p_A(t) = (t - a) p_B(t) - y^* \operatorname{adj}(t I - B) x

(b) \( B = \lambda I_n \) のとき、\( p_B(t) = \det(t I_n - \lambda I_n) = (t - \lambda)^n \) である。また、余因子行列について \( \operatorname{adj}(t I_n - \lambda I_n) = \operatorname{adj}((t - \lambda) I_n) = (t - \lambda)^{n-1} I_n \) が成り立つ。これらを (a) の結果に代入すると以下のようになる。

\begin{aligned} p_A(t) & = (t - a)(t - \lambda)^n - y^* { (t - \lambda)^{n-1} I_n } x \ &\\ & = (t - a)(t - \lambda)^n - (t - \lambda)^{n-1} y^* x \ &\\ & = (t - \lambda)^{n-1} \left[ (t - a)(t - \lambda) - y^* x \right] \ &\\ & = (t - \lambda)^{n-1} \left[ t^2 - (a + \lambda)t + a\lambda - y^* x \right] \end{aligned}

この特性多項式の根が固有値である。まず、\( (t - \lambda)^{n-1} = 0 \) より、重複度 \( n-1 \) の固有値 \( \lambda \) を持つ。次に、括弧内の 2 次式 \( t^2 - (a + \lambda)t + a\lambda - y^* x = 0 \) を解の公式を用いて解くと、

t = \frac{(a + \lambda) \pm \sqrt{(a + \lambda)^2 - 4(a\lambda - y^* x)}}{2}

根号の中を整理すると、\( (a + \lambda)^2 - 4a\lambda + 4y^* x = a^2 + 2a\lambda + \lambda^2 - 4a\lambda + 4y^* x = (a - \lambda)^2 + 4y^* x \) となる。したがって、残る 2 つの固有値は次のように求められる。