1.2.問題13
1.2.P13
\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( a \in \mathbb{C} \)、および \( B \in M_n \) とする。次のボーダー付き行列
A = \begin{pmatrix}
B & y^* \\
x & a
\end{pmatrix} \in M_{n+1}
について考える。
(a) 式 (0.8.5.10) を用いて、次式を示せ。
p_A(t) = (t - a) p_B(t) - y^* \operatorname{adj}(t I - B) x
\tag{1.2.19}
(b) \( B = \lambda I_n \) のとき、次式を導け。
p_A(t) = (t - \lambda)^{n-1} \left[ t^2 - (a + \lambda) t + a\lambda - y^* x \right]
\tag{1.2.20}
さらに、行列
\begin{pmatrix}
\lambda I_n & y^* \\
x & a
\end{pmatrix}
の固有値は、重複度 \( n - 1 \) の固有値 \( \lambda \) と、
\frac{a + \lambda \pm \sqrt{(a - \lambda)^2 + 4 y^* x}}{2}
で与えられる2つの固有値であることを結論づけよ。
コメント