[行列解析1.2.P13]

1.2.問題13

1.2.P13

\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( a \in \mathbb{C} \)、および \( B \in M_n \) とする。次のボーダー付き行列

A = \begin{pmatrix} B & y^* \\ x & a \end{pmatrix} \in M_{n+1}

について考える。

(a) 式 (0.8.5.10) を用いて、次式を示せ。

p_A(t) = (t - a) p_B(t) - y^* \operatorname{adj}(t I - B) x \tag{1.2.19}

(b) \( B = \lambda I_n \) のとき、次式を導け。

p_A(t) = (t - \lambda)^{n-1} \left[ t^2 - (a + \lambda) t + a\lambda - y^* x \right] \tag{1.2.20}

さらに、行列

\begin{pmatrix} \lambda I_n & y^* \\ x & a \end{pmatrix}

の固有値は、重複度 \( n - 1 \) の固有値 \( \lambda \) と、

\frac{a + \lambda \pm \sqrt{(a - \lambda)^2 + 4 y^* x}}{2}

で与えられる2つの固有値であることを結論づけよ。