1.2.問題12
1.2.P12
\( x = [x_i] \), \( y = [y_i] \in \mathbb{C}^n \)、および \( a \in \mathbb{C} \) を与え、行列
A = \begin{pmatrix}
0_n & y^* \\
x & a
\end{pmatrix} \in M_{n+1}
について考える。行列 \( A \) の特性多項式 \( p_A(t) \) が
p_A(t) = t^{n-1}(t^2 - a t - y^* x)
となることを次の二通りの方法で示せ。
(a) コーシーの展開（式番号0.8.5.10）を用いて \( p_A(t) \) を計算する。
(b) なぜ \( \operatorname{rank} A \leq 2 \) であるかを説明し、(1.2.13) を用いて \( p_A(t) \) を計算する。
なぜ \( E_1(A) \) と \( E_2(A) \) だけを計算すればよく、なぜ主部分行列は
\begin{pmatrix}
0 & \bar{y}_i \\
x_i & a
\end{pmatrix}
の形のものだけを考慮すればよいのかを説明せよ。
さらに、行列 \( A \) の固有値が
\frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4 y^* x}}{2}
と \( n-1 \) 個のゼロ固有値であることを示せ。
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