[行列解析1.2.P10]

1.2.問題10

1.2.P10

\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) であり、かつ \( n \) が奇数であるとする。

このとき、\( A \) は少なくとも1つの実固有値をもつことを示しなさい。

（ヒント）実数係数をもつ \( n \) 次の多項式の次数が奇数であれば、代数学の基本定理と中間値の定理により、少なくとも1つの実数解が存在する。

p_A(t) = \det(tI - A)

\( p_A(t) \) は次数 \( n \) の実係数多項式であり、\( n \) が奇数のとき、実根を少なくとも1つ持つ。したがって、その根が \( A \) の実固有値に対応する。

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2025.08.10