1.2.7例
例 1.2.7 \( x, y \in \mathbb{C}^n \) とする。
\( I + xy^{*} \) の固有値と行列式は何か？
(0.8.5.11) および \(\operatorname{adj}(\alpha I) = \alpha^{n-1} I\) という事実を用いると、次のように計算できる：
\begin{align}
p_{I+xy^{*}}(t) &= \det\!\big(t I - (I + xy^{*})\big) \notag \\
&= \det\!\big((t - 1)I - xy^{*}\big) \notag \\
&= \det\!\big((t - 1)I\big) - y^{*} \operatorname{adj}\!\big((t - 1)I\big) x \notag \\
&= (t - 1)^{n} - (t - 1)^{n-1} y^{*}x \notag \\
&= (t - 1)^{n-1} \big(t - (1 + y^{*}x)\big) \notag
\end{align}
したがって、\( I + xy^{*} \) の固有値は \( 1 + y^{*}x \) と \( 1 \)（重複度 \( n-1 \)）である。よって、
\begin{align}
\det(I + xy^{*}) &= (1 + y^{*}x) \cdot 1^{n-1} \notag \\
&= 1 + y^{*}x \notag \\
\end{align}
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