[行列解析1.2.7]例\( I + xy^{*} \)の固有値と行列式

1.2.7例

例 1.2.7　\( x, y \in \mathbb{C}^n \) とする。

\( I + xy^{*} \) の固有値と行列式は何か？

(0.8.5.11) および \(\operatorname{adj}(\alpha I) = \alpha^{n-1} I\) という事実を用いると、次のように計算できる：

\begin{align} p_{I+xy^{*}}(t) &= \det\!\big(t I - (I + xy^{*})\big) \notag \\ &= \det\!\big((t - 1)I - xy^{*}\big) \notag \\ &= \det\!\big((t - 1)I\big) - y^{*} \operatorname{adj}\!\big((t - 1)I\big) x \notag \\ &= (t - 1)^{n} - (t - 1)^{n-1} y^{*}x \notag \\ &= (t - 1)^{n-1} \big(t - (1 + y^{*}x)\big) \notag \end{align}

したがって、\( I + xy^{*} \) の固有値は \( 1 + y^{*}x \) と \( 1 \)（重複度 \( n-1 \)）である。よって、

\begin{align} \det(I + xy^{*}) &= (1 + y^{*}x) \cdot 1^{n-1} \notag \\ &= 1 + y^{*}x \notag \\ \end{align}