[行列解析1.2.18]定理

1.2.18.定理
- 定理 1.2.18.
- 証明

1.2.18.定理

定理 1.2.18.

\(A \in M_n\) とし、\(\lambda \in \sigma(A)\) が代数的重複度 \(k\) を持つとする。

このとき、\(\operatorname{rank}(A - \lambda I) \geq n - k\) が成り立ち、特に \(k=1\) の場合は等号が成立する。

証明

固有値 \(\lambda\) が重複度 \(k \geq 1\) を持つ行列 \(A \in M_n\) の特性多項式 \(p_A(t)\) に前述の観察を適用する。\(B = A - \lambda I\) とおくと、\(B\) の固有値 0 の重複度は \(k\) であり、したがって \(p_B^{(k)}(0) = 0\) となる。しかし

p_B^{(k)}(0) = k!(-1)^{n-k} E_{n-k}(B)

なので \(E_{n-k}(B) = 0\) となる。特に、\(B = A - \lambda I\) のサイズ \(n-k\) の主小行列式のうち非ゼロのものが存在するため、\(\operatorname{rank}(A - \lambda I) \geq n - k\) が成り立つ。 \(k=1\) の場合はさらに言えることがあり、\(A - \lambda I\) は特異行列なので