1.2.17.定理
次の定理は、特異な複素行列は常にわずかにシフトすることで非特異行列にできることを示しています。この重要な事実は、多くの場合、非特異行列の性質から特異行列に関する結果を導くために、連続性の議論を用いることを可能にします。
定理 1.2.17.
\(A \in M_n\) とする。このとき、ある \(\delta > 0\) が存在して、\(\varepsilon \in \mathbb{C}\)、\(0 < |\varepsilon| < \delta\) であれば、\(A + \varepsilon I\) は非特異である。
証明
観察 1.1.8 より、\(\lambda \in \sigma(A)\) であることと、\(\lambda + \varepsilon \in \sigma(A + \varepsilon I)\) であることは同値です。したがって、\(0 \in \sigma(A + \varepsilon I)\) であることは、ある \(\lambda \in \sigma(A)\) に対して \(\lambda + \varepsilon = 0\)、すなわち \(\varepsilon = -\lambda\) であることと同値です。
もし \(A\) の全ての固有値がゼロであれば、\(\delta = 1\) とします。もし \(A\) の固有値の中にゼロでないものがあれば、
\delta = \min\{\,|\lambda| : \lambda \in \sigma(A),\ \lambda \neq 0\,\} とおきます。\(0 < |\varepsilon| < \delta\) を満たす任意の \(\varepsilon\) を選べば、\(-\varepsilon \notin \sigma(A)\) が保証されるので、\(0 \notin \sigma(A + \varepsilon I)\) となり、\(A + \varepsilon I\) は非特異となります。■
多項式 \(p(t)\) の導関数とその零点の重複度には有用な関係があります。すなわち、\(\alpha\) が \(p(t)\) の重複度 \(k \geq 1\) の零点であることは、
p(t) = (t - \alpha)^k\, q(t)
と書けることと同値です。ここで \(q(t)\) は \(q(\alpha) \neq 0\) を満たす多項式です。この恒等式を微分すると、
p'(t) = k(t - \alpha)^{k-1} q(t) + (t - \alpha)^k q'(t) となります。これより \(p'(\alpha) = 0\) となるのは \(k > 1\) の場合に限られます。もし \(k \geq 2\) なら、
p''(t) = k(k-1)(t - \alpha)^{k-2} q(t) + \text{(各項に因子 $(t - \alpha)^m$, $m \geq k-1$ を含む項)} となり、\(p''(\alpha) = 0\) となるのは \(k > 2\) の場合に限られます。この計算を繰り返すことで、\(\alpha\) が \(p(t)\) の重複度 \(k\) の零点であることと、
p(\alpha) = p'(\alpha) = \cdots = p^{(k-1)}(\alpha) = 0, \quad p^{(k)}(\alpha) \neq 0 が成り立つことは同値です。
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