1.2.14.第 \(k\) 次初等対称関数（elementary symmetric function）
定義 1.2.14. 複素数 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) に対して、\(k \leq n\) のとき、その第 \(k\) 次初等対称関数（elementary symmetric function）は次で定義されます。
S_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) = \sum_{1 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq n} \ \prod_{j=1}^k \lambda_{i_j} この和は \(\binom{n}{k}\) 個の項を持ちます。もし \(A \in M_n\) で \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) がその固有値であるならば、\(S_k(A) = S_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) と定義します。
演習. \(S_1(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) と \(S_n(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) はそれぞれ何でしょうか。また、リスト \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) の添字を付け替えたり順序を入れ替えても、各関数 \(S_k(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)\) が変化しない理由を説明してください。
式 (1.2.6) を用いて計算すると、次の結果が得られます。
p_A(t) = t^n - S_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} S_{n-1}(A) t + (-1)^n S_n(A) 一方、(1.2.13) より特性多項式は次のように表されます。
p_A(t) = t^n - E_1(A) t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) t + (-1)^n E_n(A) これら二つの式を比較することで、次の恒等式が成り立ちます。
S_k(A) = E_k(A), \quad k = 1, 2, \ldots, n
すなわち、行列 \(A\) の固有値の第 \(k\) 次初等対称関数は、\(A\) のサイズ \(k\) の主要小行列式の総和に等しくなります。
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