1.2.10.定義（主小行列式の総和）
定義 1.2.10 \( A \in M_n \) とする。
サイズ \( k \) の主小行列式の総和（その数は \(\binom{n}{k}\) 個ある）を \( E_k(A) \) で表す。
我々はすでに、特性多項式の2つの係数として主小行列式の総和に出会っている。
p_A(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_2 t^2 + a_1 t + a_0 \\ \tag{1.2.10a}もし \( k = 1 \) ならば \(\binom{n}{1} = n\) であり、\( E_1(A) = a_{11} + \cdots + a_{nn} = \mathrm{tr}\,A = -a_{n-1} \) となる。
もし \( k = n \) ならば \(\binom{n}{n} = 1\) であり、\( E_n(A) = \det A = (-1)^n a_0 \) となる。
係数と主小行列式和のより広い関係は、係数が \( t = 0 \) における \( p_A(t) \) のある導関数の明示的な関数であることから導かれる：
\begin{align}
&a_k = \frac{1}{k!} \, p_A^{(k)}(0), \\
&k = 0, 1, \ldots, n-1
\end{align} \tag{1.2.11}(0.8.10.2) を用いると、導関数は次のように計算できる：
p_A'(t) = \mathrm{tr} \,\mathrm{adj}(tI - A) \(\mathrm{tr} \,\mathrm{adj} A\) は、サイズ \(n-1\) の主小行列式の総和であるから、\(\mathrm{tr} \,\mathrm{adj} A = E_{n-1}(A)\) である。
したがって、
\begin{align}
a_1 &= p_A'(t)\big|_{t=0} \notag \\
&= \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(-A) \notag \\
&= (-1)^{n-1} \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(A) \notag \\
&= (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) \notag
\end{align}さらに、\(\mathrm{tr} \,\mathrm{adj}(tI - A) = \sum_{i=1}^n p_{A^{(i)}}(t)\) であり、ここで \(A^{(i)}\) は \(A\) のサイズ \(n-1\) の \(i\) 番目の主小行列である。
これを使うと：
\begin{align}
p_A''(t) &= \frac{d}{dt} \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(tI - A) \notag \\
&= \sum_{i=1}^n \frac{d}{dt} p_{A^{(i)}}(t) \notag \\
&= \sum_{i=1}^n \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(tI - A^{(i)}) \notag
\end{align} \tag{1.2.12}それぞれの \(\mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(tI - A^{(i)})\) は、\(tI - A^{(i)}\) のサイズ \(n-2\) の主小行列式の総和である。
そして、\(\binom{n}{n-2}\) 個のサイズ \(n-2\) の主小行列式は式 (1.2.12) 中にそれぞれ2回ずつ現れる。
したがって：
\begin{align}
a_2
&= \frac{1}{2} p_A''(t)\big|_{t=0} \notag \\
&= \frac{1}{2} \sum_{i=1}^n \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(-A^{(i)}) \notag \\
&= \frac{1}{2} (-1)^{n-2} \sum_{i=1}^n \mathrm{tr}\,\mathrm{adj}(A^{(i)}) \notag \\
&= (-1)^{n-2} E_{n-2}(A) \notag
\end{align}この議論を繰り返すことで、 \( p_A^{(k)}(0) = k! (-1)^{n-k} E_{n-k}(A), \quad k = 0, 1, \ldots, n-1 \) が得られる。
したがって、特性多項式の係数 (1.2.11) は
\begin{align}
a_k
&= \frac{1}{k!} p_A^{(k)}(0) \notag \\
&= (-1)^{n-k} E_{n-k}(A), \quad k \notag \\
&= 0, 1, \ldots, n-1 \notag \
\end{align}したがって、
\begin{align}
&p_A(t) \notag \\
&= t^n - E_1(A) t^{n-1} + \cdots \notag \\
& \quad \quad \cdots + (-1)^{n-1} E_{n-1}(A) t + (-1)^n E_n(A) \notag
\end{align}恒等式 (1.2.6) を念頭に置き、次の定義（k次基本対称関数）を行う。
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