[行列解析1.1.P7]

問題 1.1.P7　\( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示しなさい。

\( \lambda \) を \( A \) の固有値、\( \mathbf{v} \) をその固有ベクトル（\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\)）とします。固有値の定義より、

A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}

両辺の内積を考えると、エルミート性 \( A^* = A \) を使って次のように変形できます。

\langle A\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \langle \lambda \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle

左辺にエルミート性を適用すると、

\begin{aligned} \langle A\mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle &= \langle \mathbf{v}, A\mathbf{v} \rangle \\ &= \langle \mathbf{v}, \lambda \mathbf{v} \rangle \end{aligned}

内積の性質（第1引数に関しては共役線形、第2引数に関しては線形）より、

\lambda \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle = \overline{\lambda} \langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle

\(\langle \mathbf{v}, \mathbf{v} \rangle \neq 0\) なので、これにより \(\lambda = \overline{\lambda}\) が成り立ちます。したがって \(\lambda\) は実数です。

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