1.1.問題6
次のことを示します。任意の冪零（nilpotent）行列のすべての固有値は 0 であること。また、零行列ではない冪零行列の例を示します。さらに、0 が唯一の冪零かつ冪等（idempotent）な行列である理由を説明します。
解答
まず、冪零行列 \( A \) とは、ある正の整数 \( k \) に対して \( A^k = 0 \) が成り立つ行列のことをいいます。
\( \lambda \) を \( A \) の固有値、\( \mathbf{v} \) をその固有ベクトルとすると、\( A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) です。このとき、両辺に \( A^{k-1} \) を作用させると次のようになります。
A^{k} \mathbf{v} = \lambda^{k} \mathbf{v}
左辺は \( A^k = 0 \) より \( 0 \) となるので、
\lambda^{k} \mathbf{v} = \mathbf{0}
非零ベクトル \( \mathbf{v} \) に対してこれが成り立つためには、\( \lambda^k = 0 \) でなければなりません。したがって、\( \lambda = 0 \) です。よって、冪零行列の固有値はすべて 0 です。
次に、0 が唯一の冪零かつ冪等な行列であることを説明します。冪等行列とは \( A^2 = A \) が成り立つ行列です。これが同時に冪零でもあるとすると、ある \( k \) に対して \( A^k = 0 \) が成り立ちます。特に \( k = 2 \) の場合、\( A^2 = A \) かつ \( A^2 = 0 \) なので \( A = 0 \) です。よって、唯一の冪零かつ冪等な行列は零行列です。
補足
例えば、次の \( 2 \times 2 \) 行列は零行列ではない冪零行列の例です。
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\
0 & 0
\end{pmatrix}
この行列は 2 乗すると零行列になりますが、元の行列自体は零行列ではありません。
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