1.1.問題5
\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとします。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかであることを示しなさい。また、単位行列 \( I \) が、唯一の正則な冪等行列である理由を説明しなさい。
解答
まず、\( A \) の固有値を \(\lambda\)、対応する固有ベクトルを \( \mathbf{v} \neq \mathbf{0} \) とします。すると、固有値の定義より次が成り立ちます。
A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
両辺に \( A \) を作用させると、冪等性 \( A^2 = A \) より次のようになります。
A^2 \mathbf{v} = A(\lambda \mathbf{v}) = \lambda A \mathbf{v} = \lambda^2 \mathbf{v}
一方、\( A^2 = A \) なので
A^2 \mathbf{v} = A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
これら二つの結果を比較すると
\lambda^2 \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
\(\mathbf{v} \neq \mathbf{0}\) なので、両辺を \(\mathbf{v}\) で割ることができ、次を得ます。
\lambda^2 = \lambda
したがって
\lambda (\lambda - 1) = 0
ゆえに \(\lambda = 0\) または \(\lambda = 1\) であることがわかります。
次に、正則な冪等行列について考えます。\( A \) が正則であれば、固有値 0 を持つことはありません。したがって、全ての固有値は \(\lambda = 1\) となります。この場合、\( A \) は単位行列 \( I \) に相似であり、かつ \( A \) は既に \( A^2 = A \) を満たしているので、結局 \( A = I \) となります。
よって、単位行列 \( I \) が唯一の正則な冪等行列です。
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