[行列解析1.1.P3]実行列の実固有値と実固有ベクトル

1.1.P3

1.1.問題3

\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。

\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \) とする。

ここで \( x = u + iv \) と表され、\( u, v \in \mathbb{R}^n \) はそれぞれ \( x \) の実部と虚部である（式(0.2.5)参照）。

\( Au = \lambda u \) および \( Av = \lambda v \) を示せ。

なぜ \( u, v \) のうち少なくとも一方は零ベクトルであってはならないかを説明し、\( A \) が \( \lambda \) に対応する実固有ベクトルを持つことを結論づけよ。

\( u \) と \( v \) の両方が \( A \) の固有ベクトルでなければならないか？

また、実数でない固有値に対応する実固有ベクトルを \( A \) は持つことができるか？

行列 \(A\) は実行列であるため、複素ベクトルへの作用は実部と虚部に分けて考えられる。

固有方程式 \(Ax=\lambda x\) を実部と虚部に分解するとよい。

\(A \in M_n(\mathbb{R})\) とし、\( \lambda \) を \(A\) の実固有値とする。\(x \in \mathbb{C}^n\)、\(x \neq 0\) が \( Ax = \lambda x \) を満たすと仮定する。

\(x = u + iv\) と表す。ただし \(u, v \in \mathbb{R}^n\) である。\(A\) は実行列であるから、 \( Ax = A(u+iv) = Au + iAv \) が成り立つ。

一方、右辺は \( \lambda x = \lambda(u+iv) = \lambda u + i\lambda v \) である。

複素数の実部と虚部の一致性より、 \( Au = \lambda u \) および \( Av = \lambda v \) が成り立つ。

ここで、もし \(u=0\) かつ \(v=0\) であれば \(x=0\) となり、仮定 \(x \neq 0\) に反する。したがって、\(u, v\) のうち少なくとも一方は零ベクトルではない。

よって、零でない方のベクトルは \(Au=\lambda u\) または \(Av=\lambda v\) を満たす実ベクトルであり、\(A\) は固有値 \( \lambda \) に対応する実固有ベクトルを持つことが結論される。

なお、\(u\) と \(v\) の両方が零でない場合には、両者とも \(A\) の固有ベクトルであるが、常に両方が固有ベクトルでなければならないわけではない。

また、\(A\) は実行列であるため、実数でない固有値に対応する実固有ベクトルを持つことはできない。