1.1.P3
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。
\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \) とする。
ここで \( x = u + iv \) と表され、\( u, v \in \mathbb{R}^n \) はそれぞれ \( x \) の実部と虚部である（式(0.2.5)参照）。
\( Au = \lambda u \) および \( Av = \lambda v \) を示せ。
なぜ \( u, v \) のうち少なくとも一方は零ベクトルであってはならないかを説明し、\( A \) が \( \lambda \) に対応する実固有ベクトルを持つことを結論づけよ。
\( u \) と \( v \) の両方が \( A \) の固有ベクトルでなければならないか？
また、実数でない固有値に対応する実固有ベクトルを \( A \) は持つことができるか？
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