[行列解析1.1.P13]

1.1.P13　\( A \in M_{n} \) とし、\(\lambda, x\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組であるとします。\(x\) が \(\operatorname{adj} A\) の固有ベクトルであることを示しなさい。

解答

以下に、命題「\(A\in M_n\) の固有対 \((\lambda,x)\)（すなわち \(Ax=\lambda x\)）ならば \(x\) は \(\operatorname{adj}A\) の固有ベクトルである」ことの証明手順を示します。

証明は二つの観点から簡潔に示せます。まずは直接的な計算から得られる識別（\(\lambda\neq 0\) の場合）を示し、次に一般の場合（\(\lambda\) が 0 の場合も含む）を多項式表示を使って示します。

(1) まず \(\operatorname{adj}A\) と行列 \(A\) には基本恒等式が成り立ちます：

\operatorname{adj}(A)\,A = (\det A) I .

これに固有方程式 \(Ax=\lambda x\) を作用させると，

\operatorname{adj}(A) (A x) = (\det A) x

左辺に \(Ax=\lambda x\) を代入して整理すると，

\operatorname{adj}(A) (\lambda x) = (\det A) x \quad\Longrightarrow\quad \lambda\,\operatorname{adj}(A)x = (\det A)\,x .

ここから直ちに次が得られます（ただし \(\lambda\neq 0\) の場合）：

\operatorname{adj}(A)x = \frac{\det A}{\lambda}\, x ,

従って \(\lambda\neq0\) のときは \(x\) は \(\operatorname{adj}(A)\) の固有ベクトルであり、対応する固有値は \(\det A/\lambda\) です。

(2) 次に一般の場合（特に \(\lambda=0\) を含む）を扱います。ここでは「\(\operatorname{adj}(A)\) は \(A\) の多項式で表せる」ことを使います。実際、コファクター（余因子）によって定義される \(\operatorname{adj}(A)\) の各成分は \(A\) の成分について次数 \(n-1\) の多項式になっており、従ってある次数 \(\le n-1\) の一変数多項式 \(q(t)\) が存在して

\operatorname{adj}(A) = q(A)

と表せます（この事実はコファクターの定義と Cayley–Hamilton の議論から導かれます）。すると固有方程式に対して多項式作用を作用させると一般に

q(A)x = q(\lambda)\,x

が成り立ちます。ゆえに \( \operatorname{adj}(A)x = q(\lambda)\,x \) となり、\(x\) は \(\operatorname{adj}(A)\) の固有ベクトルであることが示されます。特に \(\lambda=0\) のときは \(q(0)\) が対応する固有値になります（多くの場合は \(q(0)=0\) となり、\(\operatorname{adj}(A)x=0\) すなわち固有値 0 に対応することが多い）。

まとめると、任意の固有対 \((\lambda,x)\) に対して \(\operatorname{adj}(A)x\) はスカラー倍 \(q(\lambda)\) によって \(x\) に戻るため、\(x\) は \(\operatorname{adj}(A)\) の固有ベクトルになります。特に \(\lambda\neq0\) ならば固有値は明示的に \(\det A/\lambda\) です。