1.1.P12
1.1.問題12
\(\lambda\) が
A = \begin{bmatrix}
a & c \\
b & d
\end{bmatrix} \in M_{2}
の固有値であるとする。(1.1.P11) を用いて、次の行列のいずれかの列が非零であれば、それが \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであることを示せ。
\begin{bmatrix}
d - \lambda & -c \\
-b & a - \lambda
\end{bmatrix}
なぜ、この2つの列は必ず互いにスカラー倍の関係になるのか。
A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \in M_2 この方法を用いて、式 (1.1.4a) に与えられた行列の固有値 3 と 5 に対応する固有ベクトルを求めよ。
ヒント
固有値 \( \lambda \) に対して \( \det(A-\lambda I)=0 \) が成り立つとき、随伴行列に関する恒等式 \( (A-\lambda I)\operatorname{adj}(A-\lambda I)=0 \) を用いる。
2次行列では随伴行列が具体的に書けるため、その列ベクトルに注目する。
解答例
行列 \( A=\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \) に対し、
A-\lambda I=
\begin{bmatrix}
a-\lambda & c \\
b & d-\lambda
\end{bmatrix}
である。この随伴行列は
\operatorname{adj}(A-\lambda I)=
\begin{bmatrix}
d-\lambda & -c \\
-b & a-\lambda
\end{bmatrix}
となる。ここで \( \lambda \) は固有値であるから \( \det(A-\lambda I)=0 \) であり、随伴行列の性質より
(A-\lambda I)\operatorname{adj}(A-\lambda I)=0
が成り立つ。したがって、\(\operatorname{adj}(A-\lambda I)\) の各列ベクトル \(v\) は \( (A-\lambda I)v=0 \) を満たす。よって、これらの列が非零であれば、\(Av=\lambda v\) が成り立ち、\(v\) は固有値 \( \lambda \) に対応する固有ベクトルである。
また、\(\det(A-\lambda I)=0\) であるため、\(A-\lambda I\) の階数は 1 以下である。このとき随伴行列の階数は高々 1 となるので、その2つの列は必ず互いにスカラー倍の関係にある。
次に \( A=\begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \) について、この方法を用いて固有ベクトルを求める。
固有値 \( \lambda=3 \) のとき、
\operatorname{adj}(A-3I)=
\begin{pmatrix}
1-3 & 2 \\
-4 & 7-3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-2 & 2 \\
-4 & 4
\end{pmatrix}
よって、例えば列ベクトル \( \begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} \) は固有値 3 に対応する固有ベクトルである。
固有値 \( \lambda=5 \) のとき、
\operatorname{adj}(A-5I)=
\begin{pmatrix}
1-5 & 2 \\
-4 & 7-5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-4 & 2 \\
-4 & 2
\end{pmatrix}
したがって、例えば \( \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \end{pmatrix} \) は固有値 5 に対応する固有ベクトルである。
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