1.1.P10 次の例について詳細を示しなさい。この例は、無限次元の複素ベクトル空間上の線形作用素が固有値を持たない場合があることを示しています。
\( V = \{ (a_1, a_2, \dots) : a_i \in \mathbb{C},\ i = 1, 2, \dots \} \) を複素数列全体からなる形式的無限次元ベクトル空間とします。
右シフト作用素 \( S \) を
S(a_1, a_2, \dots) = (0, a_1, a_2, \dots)
で定義します。まず、\( S \) が線形変換であることを確認しなさい。
次に、もし \( Sx = \lambda x \) が成り立つなら、\( x = 0 \) であることを示しなさい。
【解答のヒント】
\( x = (a_1, a_2, a_3, \dots) \) とし、\( Sx = (0, a_1, a_2, \dots) \) です。
\( Sx = \lambda x \) ならば、
(0, a_1, a_2, \dots) = (\lambda a_1, \lambda a_2, \lambda a_3, \dots)
これより、最初の成分 \( 0 = \lambda a_1 \) から \( a_1 = 0 \) がわかります。
次に、2成分目の \( a_1 = \lambda a_2 \) から \( 0 = \lambda a_2 \) となり \( a_2 = 0 \) です。
同様にすべての成分が 0 となり、\( x = 0 \) が得られます。したがって、非ゼロ固有ベクトルは存在せず、固有値も存在しません。
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