定理 1.1.9.
任意の \( A \in M_n \) に対して、\( A \) は固有値を持つ。
実際、与えられた非零ベクトル \( y \in \mathbb{C}^n \) について、次数が高々 \( n - 1 \) の多項式 \( g(t) \) が存在して、\( g(A)y \) が \( A \) の固有ベクトルとなる。
証明．
\( y, Ay, A^2 y, \ldots, A^k y \) が線形従属となる最小の整数 \( m \) を考える。\( y \neq 0 \) より \( m \geq 1 \) であり、任意の \( n + 1 \) ベクトルは線形従属であるため \( m \leq n \) である。スカラー \( a_0, a_1, \ldots, a_m \) がすべてゼロでないものとして、
a_m A^m y + a_{m-1} A^{m-1} y + \cdots + a_1 A y + a_0 y = 0
もし \( a_m = 0 \) ならば、上式はベクトル \( y, Ay, A^2 y, \ldots, A^{m-1} y \) が線形従属であることを示し、\( m \) の最小性に矛盾する。したがって \( a_m \neq 0 \) であり、多項式
p(t) = t^m + \frac{a_{m-1}}{a_m} t^{m-1} + \cdots + \frac{a_1}{a_m} t + \frac{a_0}{a_m}
を考えることができる。
式(1.1.10)より \( p(A)y = 0 \) が成り立ち、したがって \( 0, y \) は \( p(A) \) の固有値・固有ベクトルの組である。
定理 1.1.6 により、\( p(t) \) の \( m \) 個の零点のうち少なくとも一つが \( A \) の固有値であることが保証される。
ここで、\( \lambda \) を \( p(t) \) の零点かつ \( A \) の固有値とし、\( p(t) = (t - \lambda) g(t) \) と因数分解する。
ただし \( g(t) \) は次数 \( m-1 \) の多項式である。
もし \( g(A)y = 0 \) ならば、再び \( m \) の最小性に矛盾するので \( g(A)y \neq 0 \) である。
しかし \( 0 = p(A)y = (A - \lambda I)(g(A)y) \) なので、非零ベクトル \( g(A)y \) は固有値 \( \lambda \) に対応する \( A \) の固有ベクトルである。
以上の議論により、任意の \( A \in M_n \) に対して、次数が高々 \( n \) の多項式が存在し、その零点の少なくとも一つが \( A \) の固有値であることが示された。
次節では、次数がちょうど \( n \) であって、その零点がすべて \( A \) の固有値であり、逆に \( A \) の固有値はすべてその多項式の零点である多項式 \( p_A(t) \) を導入する。
すなわち、\( p_A(\lambda) = 0 \) であることと \( \lambda \in \sigma(A) \) であることは同値である。
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