観察 1.1.8.
\( A \in M_n \) と \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) を任意に与える。
このとき、\( \lambda \in \sigma(A) \) であることと、\( \lambda + \mu \in \sigma(A + \mu I) \) であることは同値である。
証明．
もし \( \lambda \in \sigma(A) \) ならば、ある非零ベクトル \( x \) が存在して \( Ax = \lambda x \) である。
したがって、\((A + \mu I)x = Ax + \mu x = \lambda x + \mu x = (\lambda + \mu)x\) となり、\( \lambda + \mu \in \sigma(A + \mu I) \) となる。
逆に、もし \( \lambda + \mu \in \sigma(A + \mu I) \) ならば、ある非零ベクトル \( y \) が存在して \((A + \mu I)y = (\lambda + \mu)y\) である。
すなわち、\( Ay + \mu y = \lambda y + \mu y \) であり、これより \( Ay = \lambda y \) が成り立ち、\( \lambda \in \sigma(A) \) である。
ここで非常に重要な観察を行う準備ができた。
任意の複素行列は空でないスペクトルを持つ。
すなわち任意の \( A \in M_n \) に対して、あるスカラー \( \lambda \in \mathbb{C} \) と非零ベクトル \( x \in \mathbb{C}^n \) が存在し、\( Ax = \lambda x \) が成り立つ。
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