定理 1.1.6
\( p(t) \) を次数 \( k \) の多項式とする。
もし \( \lambda, x \) が \( A \in M_n \) の固有値–固有ベクトルの組であれば、\( p(\lambda), x \) は \( p(A) \) の固有値–固有ベクトルの組である。
逆に、もし \( k \geq 1 \) かつ \( \mu \) が \( p(A) \) の固有値であれば、\( \mu = p(\lambda) \) となるような \( A \) の固有値 \( \lambda \) が存在する。
証明.
次の式が成り立つ：
p(A)x = a_k A^k x + a_{k-1} A^{k-1}x + \cdots + a_1 A x + a_0 x,\quad a_k \neq 0
また、固有値–固有ベクトルの関係式を繰り返し適用すると
A^j x = A^{j-1} A x = A^{j-1} (\lambda x) = \lambda A^{j-1} x = \cdots = \lambda^j x
となる。したがって
p(A)x = a_k \lambda^k x + \cdots + a_0 x = \left(a_k \lambda^k + \cdots + a_0\right) x = p(\lambda) x
逆に、もし \( \mu \) が \( p(A) \) の固有値なら、\( p(A) - \mu I \) は特異（singular）である。 \( p(t) \) の次数は \( k \geq 1 \) なので、多項式 \( q(t) = p(t) - \mu \) も次数 \( k \geq 1 \) を持ち、次のように因数分解できる：
q(t) = (t - \beta_1)(t - \beta_2) \cdots (t - \beta_k)
ここで、\(\beta_1, \dots, \beta_k\) は複素数または実数である。すると
p(A) - \mu I = q(A) = (A - \beta_1 I)(A - \beta_2 I) \cdots (A - \beta_k I)
が特異行列となるので、ある \( j \) に対して \( A - \beta_j I \) が特異である。これは \(\beta_j\) が \( A \) の固有値であることを意味する。さらに
0 = q(\beta_j) = p(\beta_j) - \mu
より、\(\mu = p(\beta_j)\) が成り立つ。証明終。
練習問題 1.
\( A \in M_n \) とし、\(\sigma(A) = \{-1, 1\}\) とする。
このとき \(\sigma(A^2)\) は何か。
注意：定理 1.1.6 の最初の主張は、\(\sigma(A^2)\) の中のある点を同定することを許すが、それが唯一の点であるかを確かめるには第2の主張を用いる必要がある。
練習問題 2.
次の行列を考える：
A = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}
このとき \( A^2 \) を求めよ。
また、\( e_1 \) が \( A \) および \( A^2 \) の固有ベクトルであり、両方とも固有値 \(\lambda = 0\) に対応することを示せ。
さらに \( e_2 \) が \( A^2 \) の固有ベクトルであるが \( A \) の固有ベクトルでないことを示せ。なぜ定理 1.1.6 の「逆」部分が \( p(A) \) の固有ベクトルではなく固有値についてのみ述べているのかを説明せよ。
最後に、\( A \) が \( e_1 \) のスカラー倍以外の固有ベクトルを持たないこと、そして \(\sigma(A) = \{0\}\) である理由を説明せよ。
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