定義（固有値・固有ベクトル）
定義 1.1.2.
\( A \in M_n \) とする。もしスカラー \( \lambda \) とゼロでないベクトル \( x \) が次の式を満たすとき、
A x = \lambda x, \quad x \in \mathbb{C}^n, \quad x \neq 0, \quad \lambda \in \mathbb{C} このとき、\( \lambda \) を A の固有値、\( x \) を \( \lambda \) に対応する A の固有ベクトルと呼ぶ。組 \((\lambda, x)\) を A の固有値–固有ベクトルの組（固有対）という。
上記の定義において、スカラー \( \lambda \) とベクトル \( x \) は切り離せないペアとして現れる。また、固有ベクトルが決してゼロベクトルにならないことは、定義の重要な要素である。
練習問題
対角行列 \( D = \mathrm{diag}(d_1, d_2, \dots, d_n) \) を考える。このとき、標準基底ベクトル \( e_i \)（\( i = 1, \dots, n \)）が \( D \) の固有ベクトルである理由を説明せよ。また、それぞれの固有ベクトル \( e_i \) に対応する固有値は何か。
式 (1.1.3) は次のように書き換えることができる。
\lambda x - A x = (\lambda I - A) x = 0
これは \( n \times n \) の 斉次線形方程式系である。この系が非自明解（ゼロでない解）を持つならば、\(\lambda\) は \( A \) の固有値であり、行列 \(\lambda I - A\) は特異（singular）である。
逆に、\(\lambda \in \mathbb{C}\) で \(\lambda I - A\) が特異ならば、ゼロでないベクトル \( x \) が存在して
(\lambda I - A) x = 0
が成り立つ。したがって \( A x = \lambda x \) となり、すなわち \((\lambda, x)\) は \( A \) の固有値–固有ベクトルの組である。
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