1.1.問題集
1.1.P1 正則行列の固有値と逆行列の固有値
観察1.1.7
行列 \( A \in M_n \) は特異行列であることと、\( 0 \in \sigma(A) \) であることは同値である。
\( A \in M_n \) が正則（逆行列を持つ）と仮定する。
観察(1.1.7)によれば、これは \( 0 \notin \sigma(A) \) と同値である。
任意の \( \lambda \in \sigma(A) \) に対して、\( \lambda^{-1} \in \sigma(A^{-1}) \) であることを示せ。
もし \( Ax = \lambda x \) かつ \( x \neq 0 \) ならば、\( A^{-1} x = \lambda^{-1} x \) であることを示せ。
1.1.P2 行和と固有値1の同値性
\( A \in M_n \) を与える。
(a) 各行の要素の和が1であることは、\( 1 \in \sigma(A) \) かつベクトル \( e = [1, 1, \ldots, 1]^{\top} \) が対応する固有ベクトル、すなわち \( Ae = e \) であることと同値であることを示せ。
(b) 各行の要素の和が1であるとする。もし \( A \) が正則ならば、\( A^{-1} \) の各行の要素の和も1であることを示せ。
さらに任意の多項式 \( p(t) \) に対して、\( p(A) \) の各行の要素の和が等しいことを示せ。それらの和は何に等しいか？
1.1.P3 実行列の実固有値と実固有ベクトル
\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。
\( \lambda \) が \( A \) の実固有値であり、\( Ax = \lambda x \)、\( x \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \) とする。
ここで \( x = u + iv \) と表され、\( u, v \in \mathbb{R}^n \) はそれぞれ \( x \) の実部と虚部である（式(0.2.5)参照）。
\( Au = \lambda u \) および \( Av = \lambda v \) を示せ。
なぜ \( u, v \) のうち少なくとも一方は零ベクトルであってはならないかを説明し、\( A \) が \( \lambda \) に対応する実固有ベクトルを持つことを結論づけよ。
\( u \) と \( v \) の両方が \( A \) の固有ベクトルでなければならないか？
また、実数でない固有値に対応する実固有ベクトルを \( A \) は持つことができるか？
1.1.P4 ブロック対角行列のスペクトル
次のブロック対角行列を考える。
\( A = \begin{pmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \)、ただし \( A_{ii} \in M_{n_i} \)
このとき、スペクトルは \( \sigma(A) = \sigma(A_{11}) \cup \sigma(A_{22}) \) となることを示せ。
次の三点を示す必要がある。
(a) \( \lambda \) が \( A \) の固有値であれば、それは \( A_{11} \) または \( A_{22} \) の固有値であること。
(b) \( \lambda \) が \( A_{11} \) の固有値であれば、それは \( A \) の固有値であること。
(c) \( \lambda \) が \( A_{22} \) の固有値であれば、それは \( A \) の固有値であること。
1.1.P5 冪等(べきとう)行列の固有値
\( A \in M_n \) が冪等（idempotent）である、すなわち \( A^2 = A \) であるとする。このとき、\( A \) の各固有値は 0 または 1 のいずれかであることを示せ。また、単位行列 \( I \) が、唯一の正則な冪等行列である理由を説明せ。
1.1.P6 冪零(べきれい)行列の固有値
次のことを示せ。任意の冪零（nilpotent）行列のすべての固有値は 0 であること。また、零行列ではない冪零行列の例を示せ。さらに、0 が唯一の冪零かつ冪等（idempotent）な行列である理由を説明せよ。
1.1.P7 エルミート行列の固有値
\( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示せ。
エルミート行列とは、複素共役転置をとっても変わらない行列、すなわち \( A^* = A \) を満たす行列のことである。ここで、\( A^* \) は \( A \) の複素共役転置を表す。
1.1.P8 実行列の固有値
定理 1.1.9 \( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は固有値を持つ。
「定理 1.1.9」の議論を使って「すべての正方実行列が実固有値を持つ」ことを示そうとした場合、この議論がなぜ成り立たないのかを説明しなさい。
1.1.P9 固有値が実数でない実行列の例
A x = \lambda x, \quad x \in \mathbb{C}^n, \quad x \neq 0, \quad \lambda \in \mathbb{C} 定義 (1.1.3) を用いて、次の実行列 \( A \) が実数の固有値を持たないことを示しなさい。
A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} しかし、(1.1.9) によれば、この行列 \( A \) には複素数の固有値が存在します。実際には固有値は 2 つあります。それは何でしょうか。
1.1.P10 有値を持たない線形作用素の例
次の例について詳細を示しなさい。
この例は、無限次元の複素ベクトル空間上の線形作用素が固有値を持たない場合があることを示しています。
\( V = \{ (a_1, a_2, \dots) : a_i \in \mathbb{C},\ i = 1, 2, \dots \} \) を複素数列全体からなる形式的無限次元ベクトル空間とします。
右シフト作用素 \( S \) を
S(a_1, a_2, \dots) = (0, a_1, a_2, \dots)
で定義します。まず、\( S \) が線形変換であることを確認しなさい。
次に、もし \( Sx = \lambda x \) が成り立つなら、\( x = 0 \) であることを示しなさい。
1.1.P11 随伴行列と固有ベクトルの構成
\( A \in M_n \) と \( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられているとする。このとき、\( A - \lambda I \) は特異（singular）であるため、
(A - \lambda I) \, \operatorname{adj}(A - \lambda I)
= (\det(A - \lambda I)) I = 0
が成り立つ（式 (0.8.2) を参照）。
ここで、ある \( y \in \mathbb{C}^n \) （\( y = 0 \) の場合もあり得る）が存在して
\operatorname{adj}(A - \lambda I) = x y^{*}
と書けることを説明せよ。
さらに、\(\operatorname{adj}(A - \lambda I)\) の任意の非零列は、固有値 \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであることを結論づけよ。
また、この観察が有用なのは \(\operatorname{rank}(A - \lambda I) = n - 1\) の場合に限られる理由を説明せよ。
1.1.P12 随伴行列を用いた2次行列の固有ベクトル
\(\lambda\) が
A = \begin{bmatrix}
a & c \\
b & d
\end{bmatrix} \in M_{2}
の固有値であるとする。(1.1.P11) を用いて、次の行列のいずれかの列が非零であれば、それが \(\lambda\) に対応する \(A\) の固有ベクトルであることを示せ。
\begin{bmatrix}
d - \lambda & -c \\
-b & a - \lambda
\end{bmatrix}
なぜ、この2つの列は必ず互いにスカラー倍の関係になるのか。
A = \begin{bmatrix} 7 & -2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \in M_2 この方法を用いて、式 (1.1.4a) に与えられた行列の固有値 3 と 5 に対応する固有ベクトルを求めよ。
1.1.P13 随伴行列に対する固有ベクトルの性質
\( A \in M_{n} \) とし、\(\lambda, x\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組であるとします。
\(x\) が \(\operatorname{adj} A\) の固有ベクトルであることを示しなさい。
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