1.4.1
観察 1.4.1
\( A \in M_n \) とする。
(a) \( A \) と \( A^T \) の固有値は同じである。
(b) \( A^* \) の固有値は \( A \) の固有値の複素共役である。
証明．
\det(tI - A^T) = \det\big((tI - A)^T\big) = \det(tI - A)
したがって、\( p_{A^T}(t) = p_A(t) \) である。
よって、\( p_{A^T}(\lambda) = 0 \iff p_A(\lambda) = 0 \)。
\det(\overline{t}I - A^*) = \det\big((tI - A)^*\big) = \overline{\det(tI - A)}
したがって、\( p_{A^*}(\overline{t}) = \overline{p_A(t)} \) であり、\( p_{A^*}(\overline{\lambda}) = 0 \iff p_A(\lambda) = 0 \)。
演習．
\( x, y \in \mathbb{C}^n \) が固有値 \( \lambda \) に対応する \( A \in M_n \) の固有ベクトルであるとする。このとき、\( x \) と \( y \) の任意の非ゼロ線形結合も \( \lambda \) に対応する固有ベクトルであることを示せ。
結論として、特定の \( \lambda \in \sigma(A) \) に対応するすべての固有ベクトルの集合は、零ベクトルを含めて \( \mathbb{C}^n \) の部分空間となる。
演習．
前の演習で説明された部分空間は \( A - \lambda I \) の零空間、すなわち同次線形方程式
(A - \lambda I)x = 0
の解集合である。この部分空間の次元が \( n - \operatorname{rank}(A - \lambda I) \) である理由を説明せよ。
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