2.ユニタリ相似とユニタリ同値

2.1.問題262.1.問題26(a) 任意の行列 \( A \in M_n \) は、ハウスホルダー行列 \( H_1, \ldots, H_{n-1} \) と上三角行列 \( R \) を用いて、次のように分解できることを説明してくだ...

2.1.問題252.1.問題25ユニタリ行列 \( U \in M_n \) と整数 \( r \in \{1, \ldots, n\} \) に対し、複合行列（compound matrix） \( C_r(U) \) がユニタリである理...

2.1.問題242.1.問題24行列 \( E = \in M_3 \) を考えます。ここで各成分 \( e_{ij} = +1 \) です。(a) 行列 \( E \) のパーマネント（permanent）を計算し、\(\mathrm{p...

2.1.問題232.1.問題23\( A \in M_n \) を QR 分解し、\( A = QR \)、かつ列に分割して \( A = \)、\( Q = \)、\( R = \)、さらに \( R = \) とする。以下を説明せよ：\...

2.1.問題222.1.問題22\( X, Y \in M_{n,m} \) が直交な列を持つ行列であるとする。次を示せ：\( X \) と \( Y \) の列空間が一致する ⇔ \( X = YU \) を満たすユニタリ行列 \( U ...

2.1.問題212.1.問題21式 (2.1.10) において、「ユニタリ」を「複素直交」に置き換えても成立することを説明せよ。また、複素直交行列が上三角行列である ⇔ 対角行列であることを示せ。そのような対角複素直交行列はどのような形をし...

2.1.問題202.1.問題20\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、余因子行列（adjugate）について次を示せ：\mathrm{adj}(U) = (\det U) U^*よって \( \mathrm{adj}(U) ...

2.1.問題192.1.問題19\( X = \in M_{n,m} \)、\(\mathrm{rank}(X) = m\)、かつ QR分解 \( X = QR \) をもつとする。\( Y = QR^{-∗} = \) と定義する：\( ...

2.1.問題182.1.問題18\( A \in M_n \) を \( A = QR \) と分解し、列ごとに \( A = \)、\( Q = \)、\( R = _{i,j=1}^n \) とする。各 \( k = 1, \dots,...

2.1.問題172.1.問題17\( A \in M_{n,m} \)、\( n \geq m \)、かつ \(\mathrm{rank}(A) = m \) とする。このとき、A の列に左から右へとグラム–シュミット法を適用する手順を記述...

2.1.問題162.1.問題16\( x, y \in \mathbb{R}^n \) が与えられた一次独立な単位ベクトルとし、\( w = x + y \) と定義する。Palais 行列 \( P_{x,y} \) を次のように定義する...

2.1.問題152.1.問題15\( U \in M_n \) がユニタリで、\( \alpha \subset \{1, \dots, n\} \)、かつ \( U = 0 \)（0.7.1）であるとき、以下を示せ：\( U = 0 \)...

2.1.問題142.1.問題14\( M_n \) におけるユニタリ行列の群と、複素直交行列の群の交差が、実直交行列の群であることを示せ。

2.1.問題132.1.問題13\( \mathrm{diag}(2, \tfrac{1}{2}) \in M_2 \) を考える。ユニタリ行列と相似な行列の集合が、\( A^{-1} \) が \( A^* \) と相似であるようなすべて...

2.1.問題122.1.問題12\( A \in M_n \) があるユニタリ行列と相似であるならば、\( A^{-1} \) は \( A^* \) と相似であることを示せ。

2.1.問題112.1.問題11正則行列 \( A \in M_n \) が斜直交行列（skew orthogonal）であるとは、\( A^{-1} = -A^T \) が成り立つときである。以下を示せ：\( A \) が斜直交 ⇔ \(...

2.1.問題102.1.問題10\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、任意の \( x, y \in \mathbb{C}^n \) に対して、\( x \) と \( y \) が直交している ⇔ \( Ux \) と \...

2.1.問題92.1.問題9\( U \in M_n \) がユニタリであるとき、\( \overline{U}, U^T, U^* \) もすべてユニタリであることを示せ。

2.1.p82.1.問題8\( A \in M_n \) が複素直交行列とは \( A^{\top} A = I \) を満たすときである。複素直交行列がユニタリであるための必要十分条件は、それが実行列であることであることを示せ。\( S ...

2.1.p72.1.問題7\( A, B \in M_n \)、かつ \( AB = I \) と仮定する。このとき \( BA = I \) を導く議論を詳細に示せ：任意の \( y \in \mathbb{C}^n \) は \( y ...

(2.1.p6)2.1.問題63×3直交群のパラメトリックな表示を与えよ。2×2直交群の2つの表示は (2.1.5) に続く演習に示されている。ヒント以下の行列を考えます： U_\theta = \begin{bmatrix} \cos \...

2.1.p52.1.問題5\( M_n \) における置換行列（0.9.5）が実直交行列の群の部分群（つまり自分自身が群となる部分集合）であることを示せ。\( M_n \) における異なる置換行列は何通りあるか？ヒント正方行列\( P\) ...

2.1.P4 2.1.問題4実対角直交行列の特徴づけを与えよ。ヒントユニタリ行列は次のような形であわわされる(2.1.p3)。 \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \ldots, e^{i...

2.1.P3 2.1.問題3実パラメータ \(\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n\) が与えられたとき、U = \mathrm{diag}(e^{i\theta_1}, e^{i\theta_2}, \...

2.1.P22.1.問題2\(U \in M_n\) をユニタリ行列とし、\(\lambda\) を \(U\) の固有値とする。このとき次を示せ。 (a) \(|\lambda| = 1\)。 (b) ベクトル \(x\) が \(\la...

2.1.P1 2.1.問題1もし \(U \in M_n\) がユニタリであるならば、\(|\det U| = 1\) を示せ。解答例 \(U \in M_n\) がユニタリであるならU^*U=Iなので、\((\det U^*)( \det...

2.1.18定理 2.1.18. もし \(X = \in M_{n,k}\)、\(Y = \in M_{n,k}\) が直交正規な列を持つならば、あるユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(Y = U X\) が成り立つ...

2.1.14定理定理 2.1.14 (QR分解). \( A \in M_{n,m} \) とする。(a) \( n \geq m \) のとき、直交正規な列をもつ \( Q \in M_{n,m} \) と、対角成分が非負の上三角行列 \...

2.1.13定理 2.1.13. \( x, y \in \mathbb{C}^n \) を与えられたとし、\(\|x\|_2 = \|y\|_2 > 0\) と仮定する。もし \( y = e^{i\theta} x \) （ある実数 \...