2.ユニタリ相似とユニタリ同値

2.3.問題12.3.P1\(x \in \mathbb{C}^n\) を与えられた単位ベクトルとし、\(x = \begin{bmatrix} x_1 \\ y^T \end{bmatrix}\) と書く。ただし、\(x_1 \in \m...

2.3.7系 2.3.7. 行列 \( A \in M_n \) が \( A \overline{A} = \overline{A} A \) を満たすとする。このとき、実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) ...

2.3.6 可換族の同時準三角化前節の定理には、可換族に対応するバージョンがあります。すなわち、実数値行列の可換族は、ひとつの実数または実直交の相似変換によって、同時に共通の上準三角形形式に変換することができます。(2.3.5) のブロック...

2.3.4（実Schur標準形）定理 2.3.4（実Schur標準形）実行列 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) に対して、以下の性質が成り立つ：(a)実正則行列 \( S \in M_n(\mathbb{R}) \) ...

2.3.3定理 2.3.3：可換な行列族のユニタリ三角化\( M_n \) の非空の可換な行列族 \( F \subseteq M_n \) が与えられたとき、すべての \( A \in F \) に対して \( U^*AU \) が上三角...

2.3.2　例例 2.3.2\( A \) の固有値の順番を入れ替えてから三角化 (2.3.1) を行うと、主対角線より上の成分（上三角部分）が異なることがあります。以下の例を考えてみましょう：\begin{align}T_1 &= \be...

2.3.1定理 2.3.1（シュールの標準形・シュール三角化）任意の順序で固有値 \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \) をもつ行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) と、次を満たす単位ベクトル ...

2.2.問題102.2.P10\( n \geq 2 \) を満たす整数とし、\( \omega = e^{2\pi i / n} \) と定義します。(a)次の式が成り立つ理由を説明してください：\sum_{k=0}^{n-1} \ome...

2.2.問題92.2.P9\( A \in M_n \) であり、かつ \( \mathrm{tr}\,A = 0 \) であると仮定します。式 (2.2.3) を用いて、\( A \) が2つの冪零行列（nilpotent matrix）...

2.2.問題82.2.P8：交換子の性質\( A, B \in M_2 \) とし、\( C = AB - BA \) と定義します。例 2.2.3 を用いて、あるスカラー \( \lambda \) が存在して \( C^2 = \lam...

2.2.問題72.2.P7：ユニタリ相似ではないが恒等式を満たす例恒等式 (2.2.2) を満たすが、ユニタリ相似ではない 2×2 行列の例を挙げ、それがなぜユニタリ相似でないのかを説明してください。

2.2.問題62.2.P6：ユニタリ相似に関する条件\( A \in M_n \)、\( B, C \in M_m \) とします。(2.2.6) または (2.2.8) を用いて、次のいずれかの条件が成り立つとき、\( B \) と \(...

2.2.問題52.2.P5\( A \in M_n \) であり、あるユニタリ行列 \( U \in M_n \) が存在して A^* = UAU^* を満たすとする。このとき、\( U \) は \( A + A^* \) と可換であるこ...

2.2.問題42.2.P4\( A \in M_3 \) とする。(a) (2.2.8c) にある最初の6語 \(W \) に対して、以下を示し、次の同値性を結論せよ：\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr...

2.2.問題32.2.P3\( A \in M_2 \) とする。(a) (2.2.8b) にある3つの語 \(W\) に対して、次を示せ：\mathrm{tr}\, W(A, A^*) = \mathrm{tr}\, W(A^T \ove...

2.2.問題22.2.P2Givensの固有値計算法も平面回転を用いるが、その使い方は異なる。\( n \ge 3 \) とする。すべての実行列 \(A = \in M_n(\mathbb{R})\) が、実下ヘッセンベルグ行列と直交相似で...

2.2.問題12.2.P1\( A = \in M_n(\mathbb{R}) \) を対称だが対角行列ではないとし、\( i \lt j \) かつ \( |a_{ij}| = \max\{|a_{pq}| : p < q\} \) とな...

2.2.8定理定理 2.2.8. \(A, B \in M_n\) とする。(a) 2つの行列 \(A, B\) がユニタリ相似であるのは、長さが高々n \; \sqrt{\frac{2n^{2}}{\,n-1\,} + \frac{1}{...

2.2.6　Spechtの定理定理 2.2.6. 2つの行列 \(A, B \in M_n\) がユニタリ相似であるのは、2つの非可換変数に関する任意の単語 \(W(s,t)\) に対して(2.2.7)\mathrm{tr}\, W(A, ...

2.2.4（上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似）例 2.2.4. 上ヘッセンベルグ行列へのユニタリ相似。 \(A = \in M_n\) を与える。次の構成により、\(A\) は第一サブ対角成分が非負の上ヘッセンベルグ行列にユニタリ相似で...

2.2.3例（対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相似）計算上あるいは理論上の理由から、与えられた行列をユニタリ相似変換によって特別な形の行列に変換することが便利な場合がよくある。例 2.2.3. 対角成分がすべて等しい行列へのユニタリ相...

2.2.2定理 2.2.2. ユニタリ行列 \(U \in M_n\)、\(V \in M_m\) を与える。さらに \(A = \in M_{n,m}\)、\(B = \in M_{n,m}\) とし、\(A = UBV\) が成り立つと...

2.2.1定義 2.2.1. \(A, B \in M_n\) が与えられているとする。もしユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在してA = UBU^{*}が成り立つとき、\(A\) は \(B\) にユニタリ相似であるという。も...

2.1.問題292.1.問題29任意の実直交行列 \( Q \in M_n(\mathbb{R}) \) は次のように分解できる理由を説明してください：Q = U_1 \cdots U_N D\quad(N = n(n-1)/2)ここで、各...

2.1.問題282.1.問題28実行列 \( A \in M_{n,m}(\mathbb{R}) \) （\( n \geq m \)）について：(a) 有限個の平面回転行列 \( U_1, \ldots, U_N \) を構成し、U_N ...

2.1.問題272.1.問題27自然数 \( n \geq 2 \) とベクトル \( x = \in \mathbb{R}^n \) を考えます。\( x_n = x_{n-1} = 0 \) ならば \(\theta_1 = 0\) と...