2.ユニタリ相似とユニタリ同値

2.4.問題32.4.P3式 (2.4.3.2) の証明は複素行列が固有値を持つことに依存しているが、特性多項式の定義や置換 \( p_A(t) \to p_A(A) \) は固有値や複素数体の特性を必要としない。実際、ケイリー・ハミルトン...

2.4.問題22.4.P2なぜ上三角行列の階数（rank）は、その非零の主対角成分の数以上であるか説明せよ。行列 \( A = \in \mathbb{M}_n \) がちょうど \( k \geq 1 \) 個の非零固有値 \(\lamb...

2.4.問題12.4.P1行列 \( A = \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( n \) 個持つと仮定する。式 (2.4.9.2) を用いて、ある \(\delta > 0\) が存在し、すべての行列 \( B...

2.4 注記および参考文献注記および参考文献同時三角化に関する詳細な解説は Radjavi と P. Rosenthal (2000) を参照してください。定理 2.4.8.7 およびその一般化は、N. McCoy によって証明されました（...

2.4.112.4.11 完全な双直交性の原理双直交性の原理とは、異なる固有値に対応する左固有ベクトルと右固有ベクトルが直交することを意味します（1.4.7(a)参照）。ここでは、左・右固有ベクトルに関するあらゆる可能性について考察します。...

2.4.102.4.10 階数1の摂動による固有値の変化ある行列の1つの固有値だけを任意に変化させ、他の固有値には影響を与えないようにできる場合があります。このような性質は、階数1の摂動によって実現されます。定理 2.4.10.1（A. ブ...

2.4.92.4.9 固有値の連続性Schur のユニタリ三角化定理は、次のような基本的かつ広く有用な事実の証明に利用できます。それは、実または複素の正方行列の固有値は、その成分に連続的に依存するということです。この証明では、Schur の...

2.4.82.4.8 可換族と同時三角化。 ここでは、シュールの定理の可換族版 (2.3.3) を用いて、可換な行列に対して固有値が「加算」や「乗算」される（ある順序で）ことを示す。定理 2.4.8.1. \(A, B \in M_n\) ...

2.4.72.4.7 すべての正方行列はほとんど対角化可能である。 シュールの結果のもう一つの利用方法として、すべての複素正方行列が「ほとんど対角化可能」であることを、2つの意味で理解できることが挙げられる。第一の意味は、任意の行列に任意に...

2.4.62.4.6 すべての正方行列はブロック対角化可能である以下の定理は (2.3.1) の応用かつ拡張であり、次章で扱うジョルダン標準形への重要な一歩となります。定理 2.4.6.1. \( A \in \mathbb{M}_n \)...

2.4.52.4.5　シュールの三角化定理における一意性与えられた \( A \in \mathbb{M}_n \) に対して、ユニタリ相似によって得られる上三角行列 \( T \)（式 (2.3.1) における形）は一意であるとは限りませ...

2.4.4シルベスターの定理と線形行列方程式2.4.4 可換性に関連する方程式 \( AX - XA = 0 \) は、一般的に シルベスター方程式と呼ばれる線形行列方程式 \( AX - XB = C \) の特別な場合です。以下の定理は...

2.4.3ケイリー–ハミルトンの定理2.4.3 ケイリー–ハミルトンの定理任意の正方複素行列がその特性方程式を満たすという事実は、シュールの定理と、特定のゼロパターンを持つ三角行列の積に関する観察から導かれます。補題 2.4.3.1\( R...

2.4.22.4.2 Aの多項式の固有値行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) を持っていると仮定し、\( p(t) \) を任意の多項式としま...

2.4.1　トレースと行列式行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) が固有値 \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) をもつと仮定します。式 (1.2) では、特性多項式を用いて以下を示しました...

2.3.問題142.3.P14(a) \( A = \in M_n \)、ユニタリ行列 \( V = \in M_n \) に対し、以下を示せ：| \mathrm{tr}(VA) | =\left| \sum_{i,j} v_{ij} a_...

2.3.問題132.3.P13次の行列を考える：A =\begin{bmatrix}-2 & 5 \\-1 & 2\end{bmatrix}(a) \( \pm i \) が固有値であることを示し、\( A \) が次の行列と実相似であるこ...

2.3.問題122.3.P12\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda_1, \dots, \lambda_n \)、\( r \in \{1, \dots, n\} \) とする。(a) (2.3.1) を使い、複...

2.3.問題112.3.P11(2.3.1) を用いて、もし \( A \in M_n \) の固有値がすべて0であれば \( A^n = 0 \) であることを証明せよ。

2.3.問題102.3.P10\( A = \in M_n \)、\( c = \max \{ |a_{ij}| : 1 \le i, j \le n \} \) とするとき、次の不等式 \( |\det A| \le c^n n^{n/2...

2.3.問題92.3.P9\( A \in M_n \) の固有値を \( \lambda, \lambda_2, \dots, \lambda_n \) とし、\( Ax = \lambda x \) を満たす非零ベクトル \( x \)...

2.3.問題82.3.P8\( Q \in M_n \) が複素直交行列であり、\( x \in \mathbb{C}^n \) が固有値 \( \lambda \neq \pm1 \) に対応する固有ベクトルであるとする。このとき、\( ...

2.3.問題72.3.P7ある \( A \in M_n \) が \( A = Q \Lambda Q^T \) と書けるとする。ここで \( Q \in M_n \) は複素直交行列、\( \Lambda \in M_n \) は上三角...

2.3.問題62.3.P6\( A, B \in M_n \) が与えられ、両者が同時に上三角化可能、すなわちある正則行列 \( S \in M_n \) に対して\( S^{-1} A S \) および \( S^{-1} B S \) ...

2.3.問題52.3.P5与えられた行列族 \( \mathcal{F} = \{A_1, \dots, A_k\} \subset M_n \) に対し、すべてのペア積からなる族を\( \mathcal{G} = \{A_i A_j : ...

2.3.問題42.3.P4次の行列族 \( \mathcal{F} \) を考える：\mathcal{F} =\left\{\begin{bmatrix}0 & -1 \\0 & -1\end{bmatrix},\begin{bmatrix...

2.3.問題32.3.P3\( A \in M_n(\mathbb{R}) \) の場合、非実固有値（存在するならば）は共役な対として現れる理由を説明せよ。

2.3.問題22.3.P2\(x \in \mathbb{R}^n\) が与えられた単位ベクトルであるとき、(2.3.P1) で述べた構成を簡略化して、第1列が \(x\) であるような実直交行列 \(Q \in M_n(\mathbb{R...