2.ユニタリ相似とユニタリ同値

2.4.問題332.4.P33\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( p \) は正の整数とする。\( A \) がブロック上三角形行列でA = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0...

2.4.問題322.4.P32\( A, B \in \mathbb{M}_n \)、\( C = AB - BA \) とする。なぜ\operatorname{tr} C \neq 0であることはありえないか説明せよ。特に、\( c \n...

2.4.問題312.4.P31\( A \in \mathbb{M}_n \) のすべての固有値がゼロであるならば、(2.4.3.2)を用いて \( A^n = 0 \) を証明せよ。

2.4.問題302.4.P30\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( p(t) \) を次数が \( n \) より大きい多項式とする。ユークリッドの互除法（多項式の割り算）を用いて、p(t) = h(t) p_A(t...

2.4.問題292.4.P29\( A \in \mathbb{M}_n \)、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) は非零ベクトルで、\( A x = \lambda x \)、\( y^* A = \lambda y^...

2.4.問題282.4.P28\( A \in \mathbb{M}_n \) が特異行列で、\( r = \mathrm{rank} A \) とする。このとき次数が高々 \( r+1 \) の多項式 \( p(t) \) が存在して \...

2.4.問題272.4.P27\( A \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A = B C \)、かつ \( B, C^T \in \mathbb{M}_{n,k} \) とする。このとき、(2.4.3.2) を用いて次数が...

2.4.問題262.4.P26\( B \in \mathbb{M}_{n,k} \), \( C \in \mathbb{M}_{k,n} \) とする。任意の多項式 \( p(t) \) について次を示せ。B C p(B C) = B ...

2.4.問題252.4.P25\( A, B \in \mathbb{M}_2 \)、\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \lambda_2 \) とする。1.\( A \) は次の形の行列にユニタリ相似であることを示せ...

2.4.問題242.4.P24\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とするとき、余因子行列 \( \mathrm{adj} A \) の固有値は\...

2.4.問題232.4.P23\( T = \in \mathbb{M}_n \) が上三角行列のとき、\( \mathrm{adj} T = \) も上三角行列であり、対角成分は\tau_{ii} = \prod_{j \neq i} t...

2.4.問題222.4.P22\( A \in \mathbb{M}_n \) が異なる固有値を \( \mu_1, \ldots, \mu_d \)（重複度はそれぞれ \( \nu_1, \ldots, \nu_d \)）を持つとする。モ...

2.4.問題212.4.P21\( A \in \mathbb{M}_n \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n \) とする。ハンケル行列K = _{i,j=1}^nは \( A \) に対応する...

2.4.問題202.4.P20\( A, B \in \mathbb{M}_n \) で \( AB = 0 \) とし、\( C = AB - BA = -BA \) とする。2つの非可換変数の多項式 \( p(s,t) \) を考える。...

2.4.問題192.4.P19\( n \geq 3 \), \( k \in \{1, \ldots, n-1\} \) とする。\( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \...

2.4.問題182.4.P18行列 \( A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_n \)、ただし \( A_{11} \...

2.4.問題172.4.P17行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とし、\( A, B \) によって生成される部分代数 \( \mathcal{A}(A,B) \) を考える（(1.3.P36)参照）。これは \...

2.4.問題162.4.P16\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathbb{M}_2 \) の固有値を \( \lambda \) とする。\( \mu = ...

2.4.問題152.4.P15行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) に対し、2つの複素変数の多項式をp_{A,B}(s,t) = \det(t B - s A)と定める。\( A, B \) が同時に三角化可能で、\...

2.4.問題142.4.P14行列 \( A \in \mathbb{M}_n \) がランク \( r \) であるとする。\( A \) はユニタリ相似変換により、最初の \( r \) 行が線形独立で残りの \( n-r \) 行が零...

2.4.問題132.4.P13線形行列方程式 \( A X - X B = C \) に関する (2.4.4.1) の別証明の詳細を示せ。行列 \( A \in \mathbb{M}_n \), \( B \in \mathbb{M}_m ...

2.4.問題122.4.P12行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) と交換子 \( C = AB - BA \) を考える。この問題では、\( C \) が \( A \) または \( B \)、あるいは両方と交換...

2.4.問題112.4.P11行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) とそれらの交換子 \( C = AB - BA \) を考える。\(\mathrm{tr} C = 0\) を示せ。行列A = \begin{pma...

2.4.問題102.4.P10行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が同じ特性多項式（従って同じ固有値）を持つことは、すべての \( k=1,2,\ldots,n \) について\mathrm{tr}\, A^k =...

2.4.問題92.4.P9単項式多項式 \( p(t) = t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \cdots + a_1 t + a_0 \) を零点 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を持つとす...

2.4.問題82.4.P8McCoyの定理の精神に則った観察は、2つの行列がユニタリ相似でないことを示すのに有効な場合がある。複素係数の2つの非可換変数の多項式 \( p(t, s) \) を考え、行列 \( A, B \in \mathb...

2.4.問題72.4.P7(2.3.P6) の判定法を用いて、(2.4.8.4) の2つの行列が同時に上三角化できないことを示せ。また同じ検査を (2.4.P6) の2つの行列に適用せよ。

2.4.問題62.4.P6以下の行列を考える。A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\0 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3\end{pmatrix}, \quadB =\begin{pmatrix}-2 & 1 &...

2.4.問題52.4.P5次の行列を考える。\begin{pmatrix}0 & 1 \\0 & 0\end{pmatrix}なぜ任意に対角化不可能な行列が、ある対角化可能な行列に任意に近い位置に存在しうるのか説明せよ。さらに、(2.4.P...

2.4.問題42.4.P4行列 \( A, B \in \mathbb{M}_n \) が交換する（すなわち \( AB = BA \)）と仮定する。なぜ \( B \) が \(\mathrm{adj}\, A\) と交換し、また \(\...