2.ユニタリ相似とユニタリ同値

2.5.問題692.5.P69 \( k \times k \) ブロック行列 M_A = _{i,j=1}^k \in M_{kn}, \quad \\A_{ij} = \begin{cases} 0 & (i \geq j) \\ I_...

2.5.問題682.5.P68 \( A, B \in M_n \) とし、\( B \) が正規であり、かつ \( A \) の零ベクトルがすべて \( B \) の正規固有ベクトルであると仮定する。このとき \( AB = 0 \) で...

2.5.問題672.5.P67 \( A, B \in M_n \) が正規行列であるとき、\( AB = 0 \) であることと \( BA = 0 \) であることは同値であることを示せ。

2.5.問題662.5.P66 \( A \in M_n \) とする。もし \( A^2 \) が正規であれば、\( A \) を squared normal という。知られている事実として、\( A \) が squared norm...

2.5.問題652.5.P65 \( A \in M_n \) が正規行列であり、\( r \in \{1, \ldots, n\} \) とする。このとき、複合行列 \( C_r(A) \) も正規であることを説明せよ。

2.5.問題642.5.P64 \( A \in M_n \) に対し、次を示せ：(a) \(\mathrm{rank}(AA^* - A^*A) \neq 1\)。

2.5.問題632.5.P63 \( A = \in M_n \) が三重対角行列であるとする。もし \( A \) が正規ならば、各 \( i = 1, \ldots, n-1 \) に対して |a_{i,i+1}| = |a_{i+1,...

2.5.問題622.5.P62 \( A \in M_n \) がちょうど \( k \) 個の非零固有値を持つとき、\(\mathrm{rank}(A) \geq k\) であることは知られている。\( A \) が正規である場合、なぜ ...

2.5.問題612.5.P61 \( A \in M_n \) の固有値を \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) とする。(a) 次を示せ： \max_{i=1,\ldots,n} \left| \lambda_...

2.5.問題602.5.P60 \( x = \in \mathbb{C}^n \) を与える。(a) \(\max_i |x_i| \leq \|x\|_2\) が成り立つ理由を説明せよ (0.6.1)。 (b) \( e = e_1 +...

2.5.問題592.5.P59 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が正規かつ固有値がすべて異なると仮定する。もし \( AB = BA \) ならば \( B \) も正規であることを示せ。(1.3.P3 と比較せ...

2.5.問題582.5.P58 \( A \in M_n \) が正規行列であるとする。このとき \( A\overline{A} = 0 \) が成り立つことと、\( AA^T = A^TA = 0 \) が成り立つことは同値である。(a...

2.5.問題572.5.P57 \( A \in M_n \) とする。(a) \( A \) が正規かつ対称であることと、実直交行列 \( Q \in M_n \) と対角行列 \(\Lambda \in M_n\) が存在して \( A...

2.5.問題562.5.P56 \( A \in M_n \)、整数 \( k \geq 2 \) を与え、\(\omega = e^{2\pi i/(k+1)}\) とする。このとき \( A^k = A^* \) が成り立つことと、\(...

2.5.問題552.5.P55 正規行列に関して (2.2.8) の改良を確認せよ：\( A, B \in M_n \) が正規ならば、\( A \) が \( B \) とユニタリ相似であることと \mathrm{tr}(A^k) = \...

2.5.問題542.5.P54 \( A, B \in M_n \) が正規行列であるとする。このとき次を示せ：(a) \( A \) の零空間は \( A \) の値域と直交する。(b) \( A \) の値域と \( A^* \) の値...

2.5.問題532.5.P53 \( U, V \in M_n \) をユニタリ行列とし、さらに \( V \) の全ての固有値が長さ \( \pi \) の開弧上にあると仮定する。このような行列を cramped unitary という。...

2.5.問題522.5.P52 \( A, B \in M_n \) を非特異行列とする。行列 \( C = ABA^{-1}B^{-1} \) を \( A \) と \( B \) の乗法的交換子（multiplicative comm...

2.5.問題512.5.P51 \( A \in M_n \) を正規行列とし、スペクトル分解 \( A = U \Lambda U^* \) を考える。ただし \(\Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \l...

2.5.問題502.5.P50 反転行列 \( K_n \) (0.9.5.1) は実対称である。(0.9.5.1)K_n =\begin{bmatrix}0 & \cdots & 0 & 1 \\0 & \cdots & 1 & 0 \\...

2.5.問題492.5.P49 \( A \in M_n \) が上三角で対角化可能であると仮定する。このとき、上三角行列による相似変換によって対角化できることを示せ。

2.5.問題482.5.P48 \( A \in M_n \) が正規行列で \(\mathrm{rank}(A) = r > 0\) とする。(2.5.3) を用いて \( A = U \Lambda U^* \) と書ける。ただし \(...

2.5.問題472.5.P47 \( A \in M_n \) が正規行列で、固有値が \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) であるとする。このとき次を示せ: (a) \(\mathrm{adj}(A)\) は正...

2.5.問題462.5.P46 (2.3.1) を用いて、実行列の非実固有値は必ず複素共役のペアで現れることを示せ。

2.5.問題452.5.P45 \( N \subseteq M_n(\mathbb{R}) \) を可換な実対称行列族とする。このとき、単一の実直交行列 \( Q \) が存在して、すべての \( A \in N \) に対して \( Q...

2.5.問題442.5.P44 (a) \( A \in M_n \) がエルミート行列であることと \(\mathrm{tr}(A^2) = \mathrm{tr}(A^*A)\) が同値であることを示せ。(b) エルミート行列 \( A...

2.5.問題432.5.P43 \( A = \in M_n \) を正規行列とする。(a) \( A = _{i,j=1}^k \) と分割し、各 \( A_{ii} \) は正方行列とする。もし \( A \) の固有値が \( A_{...

2.5.問題422.5.P42 \( A, B \in M_n \) とし、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) を \( A \) の固有値とする。次で定義される量 \delta(A) = \mathrm{tr...

2.5.問題412.5.P41 \( z \in \mathbb{C}^n \) を非零ベクトルとし、\( z = x + iy \) と書く。ただし \( x, y \in \mathbb{R}^n \) である。(a) 次の3つの命題が...

2.5.問題402.5.P40 \( A = \begin{bmatrix}0 & B \\ 0 & 0\end{bmatrix} \in M_4 \)、ただし \( B = \begin{bmatrix}1 & i \\ -i & 1\e...