2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7]問題集
2.7.問題集CS分解を用いて、次の各問題を解きなさい。他の方法も可能であるが、ここではCS分解を使うこととする。与えられた \( A \in M_{n,m} \) が縮小写像 (contraction) であるとは、その最大特異値が 1 ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7.1]CS分解
2.7.1定理 2.7.1（CS分解）．整数 \( p, q, n \) が与えられていて、\( 1 \lt p \leq q \lt n \)、かつ \( p+q=n \) とする。次のようなユニタリ行列U =\begin{bmatrix...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.7]
2.72.7 CS分解CS分解は、分割されたユニタリ行列に対する分割ユニタリ同値の下での標準形である。その証明には、特異値分解、QR分解、そして次の演習に示される観察が用いられる。演習. \( \Gamma, L \in M_p \) とす...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p40]
2.6.問題402.6.P40(2.4.5.1) の表記を用い、\(T\) と \(T'\) がユニタリ合同であるとする。(a) 各 \(i,j = 1, \ldots, d\) に対して、\(T_{ij}\) と \(T'_{ij}\) ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p39]
2.6.問題392.6.P39\(A \in M_n\) が共反転行列 (coninvolutory) で、すなわち \(A\) が正則で \(A = \bar A^{-1}\) であるとする。1 でない \(A\) の特異値が互いに逆数の...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p38]
2.6.問題382.6.P38\(A \in M_n\) が正則で、\(\sigma_n\) が \(A + A^{-*}\) の最小特異値であるとする。\(\sigma_n \ge 2\) を示せ。また、等号が成立する場合について考察せよ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p37]
2.6.問題372.6.P37\(A \in M_n\) が異なる特異値を持つとする。\(A = V \Sigma W^*\) および \(A = \hat V \Sigma \hat W^*\) が特異値分解である。(a) \(A\) が...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p36]
2.6.問題362.6.P36\(A \in M_n\) がランク r を持ち、正の異なる特異値を \(s_1, \ldots, s_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \ldots, n_d\) とし、特異値分解 \(A = V \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p35]
2.6.問題352.6.P35前問の表記を用いて次を示せ：\sum_{i=1}^{n} |\lambda_i(A)|^2 \\ \le \sqrt{ (\mathrm{tr} AA^* - \frac{1}{n} |\mathrm{tr} ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p34]
2.6.問題342.6.P34\(A \in M_n\) および \(A^2\) の固有値をそれぞれ \(\lambda_1(A), \ldots, \lambda_n(A)\) および \(\lambda_1(A^2), \ldots, ...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p33]
2.6.問題332.6.P33\(A \in M_n\) の順序付き特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_n\) とし、\(r \in \{1, \ldots, n\}\) とする。複合行列 \(C_r...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p32]
2.6.問題322.6.P32\(A \in M_n\) とし、\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^T & 0 \end{pmatrix} \in M_{2n}とする。もし \(\sigma_1, \ldots, \sig...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p31]
2.6.問題312.6.P31\(A \in M_{m,n}\) とする。(a) 特異値分解 \(A = V \Sigma W^*\) を用いて、エルミート行列\begin{pmatrix} 0 & A \\ A^* & 0 \end{pm...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p30]
2.6.問題302.6.P30特異値分解を用いて、複素行列に対する (0.4.6(f)) を確認せよ：\(A \in M_{m,n}\) のランクが r であることは、非特異行列 \(S \in M_m\) および \(T \in M_n\...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p29]
2.6.問題292.6.P29\(x \in \mathbb{C}^n\) が \(A \in M_n\) の正規固有ベクトルであり、対応する固有値を \(\lambda\) とするとき、\(|\lambda|\) が \(A\) の特異値...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p28]
2.6.問題282.6.P28\(A \in M_n\) が EP 行列であるとは、\(\mathrm{range}(A)\) と \(\mathrm{range}(A^*)\) が同じであることを意味する。すべての正規行列は EP 行列で...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p27]
2.6.問題272.6.P27\(A \in M_n\) が斜対称行列であるとする。もし \(\mathrm{rank}(A) \le 1\) なら、なぜ \(A = 0\) となるか説明せよ。
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p26]
2.6.問題262.6.P26\(A \in M_n\)、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とし、(2.6.9) の表現を考える。(a) \(A\) が正規であることと、\(L = 0\) かつ \(\Sigma...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p25]
2.6.問題252.6.P25 \(A \in M_n\) で、\(\mathrm{rank}(A) = r \lt n\) とする。正の特異値 \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigma_r > 0\) を \(\S...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p24]
2.6.問題242.6.P24\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ共役自己消滅 (conjugate self-annihilating) すなわち \(A \...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p23]
2.6.問題232.6.P23\(A \in M_n\) が与えられており、\(\mathrm{rank}(A) = r \ge 1\) で、かつ自己消滅 (self-annihilating)、すなわち \(A^2 = 0\) であるとす...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p22]
2.6.問題222.6.P22\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。(a) \(A \bar B\) がエルミートであることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p21]
2.6.問題212.6.P21\(A, B \in M_n\) が対称行列であるとする。\(A \bar B\) が正規であることと、ユニタリ行列 \(U \in M_n\) が存在して \(A = U \Sigma U^T\)、\(B =...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p20]
2.6.問題202.6.P20\(A \in M_n\) が対称行列であるとする。もし \(A\) が正則の場合、特別な特異値分解 (2.6.6(a)) が知られている。この分解が \(A\) が特異行列であっても有効であることを示すための...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p19]
2.6.問題192.6.P19\(U = \begin{pmatrix} U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22} \end{pmatrix} \in M_{k+\ell}\) をユニタリ行列とし、\(U_{11...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p18]
2.6.問題182.6.P18 \(A \in M_n\) が射影行列で、\(\mathrm{rank}(A) = r\) とする。(a) \(A\) がユニタリ合同で\begin{pmatrix} I_r & X \\ 0 & 0_{n-...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p17]
2.6.問題172.6.P17\(A \in M_{n,m}\) を与える。特異値分解を用いて、\(\mathrm{rank}(A) = \mathrm{rank}(AA^*) = \mathrm{rank}(A^*A)\) が成り立つこと...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p16]
2.6.問題162.6.P16\(U, V \in M_n\) がユニタリである。(a) 常にユニタリ行列 \(X, Y \in M_n\) と対角ユニタリ \(D \in M_n\) が存在して \(U = X D Y\)、\(V = Y...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p15]
2.6.問題152.6.P15\(A = \in M_n\) の固有値を \(|\lambda_1| \ge \cdots \ge |\lambda_n|\) の順に、特異値を \(\sigma_1 \ge \cdots \ge \sigm...
2.ユニタリ相似とユニタリ同値 [行列解析2.6.p14]
2.6.問題142.6.P14\(A \in M_n\) を与える。(a) \(A\) が正規であり、スペクトル分解 \(A = U \Lambda U^*\) があり、\(U\) はユニタリ、\(\Lambda = \mathrm{dia...