1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.8]補題
補題 1.3.8．\( A \in M_n \) の \(k \geq 2\) 個の異なる固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambda_k \) とし（すなわち、\(i \neq j\) ならば \( \lambda...
1.固有値・固有ベクトル・相似
1.固有値・固有ベクトル・相似 1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.7]定理
定理 1.3.7．\( A \in M_n \) が与えられているとする。このとき、\( A \) は次の形のブロック行列に相似である： (1.3.7.1)\begin{align}& \begin{pmatrix} B & C \\ 0 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.6]定義（対角化可能）
定義 1.3.6 対角化可能もし \( A \in M_n \) がある対角行列に相似であるならば、\( A \) は対角化可能（diagonalizable）であると言います。
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.5]練習問題
1.3.5練習問題例 1.3.5 同じ固有値を持つことは、相似であるための必要条件ではありますが、十分条件ではありません。次の2つの行列を考えてみましょう。 \begin{bmatrix}0 & 0 \\1 & 0\end{bmatrix}...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.4]系 1.3.4 相似
系 1.3.4 \( A, B \in M_n \) とし、\( A \) が \( B \) に相似であるとします。このとき、次が成り立ちます。(a) \( A \) と \( B \) は同じ固有値を持つ。(b) もし \( B \) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.3]
定理 1.3.3 \( A, B \in M_n \) とします。もし \( B \) が \( A \) に相似であるならば、\( A \) と \( B \) は同じ特性多項式を持ちます。 証明．次を計算します。 p_B(t) = \d...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.2]相似関係
観察 1.3.2 相似は \( M_n \) 上の同値関係であり、すなわち相似関係は反射律・対称律・推移律を満たします（式 (0.11) 参照）。他の同値関係と同様に、相似は集合 \( M_n \) を互いに交わらない同値類に分割します。各...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3.1]定義（相似・相似変換・置換変換）
定義 1.3.1 \( A, B \in M_n \) が与えられているとします。もし正則行列 \( S \in M_n \) が存在してB = S^{-1} A Sを満たすならば、\( B \) は \( A \) に相似であるといいます...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.3]相似性
1.3 相似性私たちは、\( M_n \) に属する行列の相似変換が、複素数空間 \( \mathbb{C}^n \) 上での基底を変えた表現に対応することを知っています。したがって、相似を調べることは、ある線形変換に固有の性質や、その線形...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P23]
1.2.問題231.2.P23 もし \(A \in M_n\) が特異（singular）であり、かつ異なる固有値をもつならば、サイズ \(n - 1\) の正則な主要小行列（principal minor）をもつことを示せ。注意：主要小...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P22]
1.2.問題221.2.P22 (0.9.6.2) に示されている \(n \times n\) 循環行列 \(C_n\) を考える。与えられた \(\varepsilon > 0\) に対して、\(C_n(\varepsilon)\) を...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P21]
1.2.問題211.2.P21 \( A \in M_n \) と、ゼロでないベクトル \( x, v \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。\( c \in \mathbb{C} \)、\( v^* x = 1 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P20]
1.2.問題201.2.P20 任意の \( A \in M_n \) に対して、次を示せ：\det(I + A) = 1 + E_1(A) + \cdots + E_n(A)ここで、\(E_k(A)\) は \(A\) の固有値の \(k...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P19]
1.2.問題191.2.P19 \( A = \in M_n \) のすべての成分が 0 または 1 であり、\( A \) のすべての固有値 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\) が正の実数であると仮定する。この...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P18]
1.2.問題181.2.P18 \( A \in M_3 \) とする。このとき、特性多項式 \( p_A(t) \) がp_A(t) = t^3 - (\mathrm{tr} A)\, t^2 + (\mathrm{tr} \,\math...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P17]
1.2.問題171.2.P17 \( A, B \in M_n \) とし、次の行列 \( C \) を考える：C =\begin{bmatrix}0_n & B \\A & 0_n\end{bmatrix}式 (0.8.5.13–14) ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P16]
1.2.問題161.2.P16 \( A \in M_n \) および \( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。次を定義する：f(t) = \det\left(A + t x y^T\right)式 ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P15]
1.2.問題151.2.P15 \( A(t) \in M_n \) が与えられた連続な行列値関数であり、ベクトル値関数 \( x_1(t), \ldots, x_n(t) \in \mathbb{C}^n \) がそれぞれ常微分方程式系x...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P14]
1.2.問題141.2.P14 \( n \geq 3 \)、\( B \in M_{n-2} \)、および \( \lambda, \mu \in \mathbb{C} \) とする。次のブロック行列 A =\begin{pmatrix}...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P13]
1.2.問題131.2.P13 \( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( a \in \mathbb{C} \)、および \( B \in M_n \) とする。次のボーダー付き行列 A = \begin{pmatrix...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P12]
1.2.問題121.2.P12 \( x = \), \( y = \in \mathbb{C}^n \)、および \( a \in \mathbb{C} \) を与え、行列 A = \begin{pmatrix}0_n & y^* \\x...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P11]
1.2.問題111.2.P11 \( V \) を体 \( F \) 上のベクトル空間とする。線形変換 \( T : V \to V \) の固有値とは、\( T\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) を満たす...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P10]
1.2.問題101.2.P10 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) であり、かつ \( n \) が奇数であるとする。このとき、\( A \) は少なくとも1つの実固有値をもつことを示しなさい。 （ヒント）実数係数をもつ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P9]
1.2.問題91.2.P9 \( S_2(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_3(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_4(\lambda_1, \ldots, ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P8]
1.2.P81.2.P8 \( A \in M_n \) と \( \lambda \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。また、\( A \) の固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P7]
1.2.P71.2.P7 (1.2.13) を用いて、次の三重対角行列の特性多項式を求めなさい。 \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 & ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P6]
1.2.P61.2.P6 もし \( A \in M_n \) で、\(\lambda \in \sigma(A)\) が重複度 1 を持つならば、\(\mathrm{rank}(A - \lambda I) = n - 1\) であること...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P5]
1.2.P51.2.P5(1.1.P6) を用いて、冪零行列（nilpotent matrix）のトレース（trace）が 0 であることを示しなさい。また、冪零行列の特性多項式（characteristic polynomial）は何かを...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P4]
1.2.P4 1.2.P4 \( A \in M_n \) が冪等行列（idempotent）であると仮定する。式 (1.2.15) および (1.1.P5) を用いて、\( p_A(t) \) のすべての係数が整数（正・負またはゼロ）であ...
1.固有値・固有ベクトル・相似 [行列解析1.2.P3]
1.2.問題31.2.P3 \( D \in M_n \) を対角行列とする。特徴多項式 \( p_D(t) \) を計算し、\( p_D(D) = 0 \) であることを示しなさい。