1.固有値・固有ベクトル・相似

1.3.問題111.3.P11 次の (1.3.19) の別証明について詳細を示せ。(a) \( A, B \in M_n \) が可換で、\( x \neq 0 \)、かつ \( Ax = \lambda x \) とする。ベクトル列x,...

1.3.問題101.3.P10 \( A \in M_n \) が与えられ、\(\lambda_1, \ldots, \lambda_k\) が \( A \) の互いに異なる固有値であるとする。各 \( i = 1, 2, \ldots,...

1.3.問題91.3.P9 次の特異行列 \( A \) と \( B \) を考える。A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 0\end{pmatrix}, \quadB = \begin{pmatrix}0 & 1...

1.3.問題81.3.P8 \( A, B \in M_n \) であり、少なくとも一方が異なる固有値を持つ場合（もう一方については対角化可能性すら仮定しない）、次の幾何学的議論の詳細を示せ。すなわち、\( A \) と \( B \) が...

1.3.問題71.3.P7 \( A \in M_n \) が \( B \in M_n \) の平方根であるとは、\( A^2 = B \) が成り立つことをいう。すべての対角化可能な \( B \in M_n \) が平方根を持つことを...

1.3.問題61.3.P6 (a) \( \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \) のとき、\( p_{\Lambda}(\Lambda) \) が零行列であることを示...

1.3.問題51.3.P5 同時に対角化できないが、可換である2つの行列の例を挙げよ。これは (1.3.12) に反するだろうか。その理由も述べよ。

1.3.問題41.3.P4 \( A \in M_n \) が互いに異なる固有値 \( \alpha_1, \ldots, \alpha_n \) を持ち、与えられた行列 \( B \in M_n \) と可換であるとき、\( B \) が...

1.3.問題31.3.P3 \( A \in M_n \)、\( SAS^{-1} = \Lambda = \mathrm{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n) \)、および \( p(t) \) が多項式...

1.3.問題21.3.P2 \( A, B \in M_n \) であり、かつ \( A \) と \( B \) が可換であるとき、\( A \) の任意の多項式が \( B \) の任意の多項式と可換であることを示せ。

1.3.問題11.3.P1 \( A, B \in M_n \) とする。\( A \) と \( B \) が対角化可能であり、かつ可換であると仮定する。\( A \) の固有値を \( \lambda_1, \ldots, \lambd...

定理 1.3.31（Mirsky）. 整数 \( n \geq 2 \) および複素数 \(\lambda_1, \dots, \lambda_n\)、\(d_1, \dots, d_n\) が与えられているとする。次が成り立つ：固有値が ...

系 1.3.30. \( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R}) \) を、実固有値を持つ実対角化可能行列の族とする。このとき、\( F \) が可換族であることは...

定理 1.3.29. \( F = \{ A_\alpha : \alpha \in I \} \subset M_n(\mathbb{R}) \)、\( G = \{ B_\alpha : \alpha \in I \} \subset ...

補題 1.3.28. \( S \in M_n \) を正則行列とし、\( S = C + iD \) と表す。ただし \( C, D \in M_n(\mathbb{R}) \) とする。このとき、ある実数 \(\tau\) が存在して、...

定理 1.3.27. \( A \in M_n \) が対角化可能であり、その異なる固有値を \(\mu_1, \dots, \mu_d\)、それぞれの重複度を \(n_1, \dots, n_d\) とする。\( S, T \in M_n...

例 1.3.26. 任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実反対称テプリッツ行列を考える。A = _{i,j=1}^{n}= \begin{bmatrix}0 & -1 & -2 & \cd...

例 1.3.25. 任意の \( n \geq 2 \) に対して、次の \( n \times n \) 実対称ハンケル行列を考える。A = _{i,j=1}^{n}= \begin{bmatrix}2 & 3 & 4 & \cdots ...

例 1.3.24. コーシーの行列式恒等式正則な \( A \in M_n \) と、\( x, y \in \mathbb{C}^n \) が与えられているとする。このとき、\begin{aligned}\det(A + x y^{T})...

定理 1.3.22 には多くの応用があり、そのいくつかは次章以降で現れる。ここではそのうちの 4 つのうちの 1 つを示す。例 1.3.23. 低ランク行列の固有値\( A \in M_n \) が \( A = X Y^{T} \) と因...

定理 1.3.22. \( A \in M_{m,n} \)、\( B \in M_{n,m} \) で \( m \leq n \) とする。このとき、\( BA \) の \( n \) 個の固有値は、\( AB \) の \( m \...

定理 1.3.21. \( F \subset M_n \) を対角化可能な行列族とする。このとき、\( F \) が可換族であることと、同時対角化可能族であることは同値である。さらに、任意の \( A_0 \in F \) と、\( A_...

定義 1.3.20.同時対角化可能\( F \subset M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、すべての \( A \in F \) に対して \( S^{-1} A S \)...

次の補題は、多くの後続結果の核心となる。補題 1.3.19. \( F \subset M_n \) を可換な族とする。このとき、\(\mathbb{C}^n\) において、すべての \( A \in F \) の固有ベクトルとなる零でない...

観察 1.3.18. \( n \geq 2 \) とする。ある \( A \in M_n \) が (1.3.17) 形式のブロック三角行列に相似であるのは、\( \mathbb{C}^n \) の非自明な部分空間が \( A \)-不変...

定理 1.3.12 の結果を、任意個数の可換な対角化可能行列に拡張した形で得たい。そのための中心的な概念は、不変部分空間と、それに対応するブロック三角行列である。定義 1.3.16. \( \mathcal{F} \subseteq M_n...

定理 1.3.12. \( A, B \in M_n \) が対角化可能であるとする。このとき、\( A \) と \( B \) が可換であることと、それらが同時対角化可能であることは同値である。証明. まず、\( A \) と \( B...

定義 1.3.11. \( A, B \in M_n \) が同時対角化可能であるとは、ある正則行列 \( S \in M_n \) が存在して、\( S^{-1} A S \) と \( S^{-1} B S \) がともに対角行列になる...

補題 1.3.10. \( B_1 \in M_{n_1}, \dots, B_d \in M_{n_d} \) が与えられ、次のように直和で構成される行列 \( B \) を考える。B =\begin{bmatrix}B_1 & 0 & ...

定理 1.3.9. もし \( A \in M_n \) が \( n \) 個の異なる固有値を持つならば、\( A \) は対角化可能である。証明. 各 \( i = 1, \dots, n \) に対して、固有値 \(\lambda_i...