固有値・固有ベクトル・類似性

1.2.問題111.2.P11 \( V \) を体 \( F \) 上のベクトル空間とする。線形変換 \( T : V \to V \) の固有値とは、\( T\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} \) を満たす...

1.2.問題101.2.P10 \( A \in M_n(\mathbb{R}) \) であり、かつ \( n \) が奇数であるとする。このとき、\( A \) は少なくとも1つの実固有値をもつことを示しなさい。 （ヒント）実数係数をもつ...

1.2.問題91.2.P9 \( S_2(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_3(\lambda_1, \ldots, \lambda_6) \)、\( S_4(\lambda_1, \ldots, ...

1.2.P81.2.P8 \( A \in M_n \) と \( \lambda \in \mathbb{C} \) が与えられているとする。また、\( A \) の固有値が \( \lambda_1, \ldots, \lambda_n...

1.2.P71.2.P7 (1.2.13) を用いて、次の三重対角行列の特性多項式を求めなさい。 \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 1 & 1 & ...

1.2.P61.2.P6 もし \( A \in M_n \) で、\(\lambda \in \sigma(A)\) が重複度 1 を持つならば、\(\mathrm{rank}(A - \lambda I) = n - 1\) であること...

1.2.P51.2.P5(1.1.P6) を用いて、冪零行列（nilpotent matrix）のトレース（trace）が 0 であることを示しなさい。また、冪零行列の特性多項式（characteristic polynomial）は何かを...

1.2.P4 1.2.P4 \( A \in M_n \) が冪等行列（idempotent）であると仮定する。式 (1.2.15) および (1.1.P5) を用いて、\( p_A(t) \) のすべての係数が整数（正・負またはゼロ）であ...

1.2.問題31.2.P3 \( D \in M_n \) を対角行列とする。特徴多項式 \( p_D(t) \) を計算し、\( p_D(D) = 0 \) であることを示しなさい。

1.2.問題21.2.P2 行列 \( A \in M_{m,n} \) と \( B \in M_{n,m} \) に対して、直接計算により \( \mathrm{tr}(AB) = \mathrm{tr}(BA) \) を示しなさい。任...

1.2.問題1（1.2.P1 ）\(A \in M_n\) とする。恒等式 \(S_n(A) = E_n(A)\) を用いて、観察1.1.7 を検証せよ。 観察1.1.7. 行列 \( A \in M_n \) は特異行列であることと、\(...

1.2.18.定理定理 1.2.18. \(A \in M_n\) とし、\(\lambda \in \sigma(A)\) が代数的重複度 \(k\) を持つとする。このとき、\(\operatorname{rank}(A - \lamb...

1.2.17.定理 次の定理は、特異な複素行列は常にわずかにシフトすることで非特異行列にできることを示しています。この重要な事実は、多くの場合、非特異行列の性質から特異行列に関する結果を導くために、連続性の議論を用いることを可能にします。 ...

1.2.16.定理 定理 1.2.16. \(A \in M_n\) とすると、各 \(k = 1, \ldots, n\) に対して \(S_k(A) = E_k(A)\) が成り立ちます。 S_k(A) = E_k(A), \quad ...

1.2.14.第 \(k\) 次初等対称関数（elementary symmetric function） 定義 1.2.14. 複素数 \(\lambda_1, \ldots, \lambda_n\) に対して、\(k \leq n\) ...

1.2.10.定義（主小行列式の総和）定義 1.2.10　\( A \in M_n \) とする。サイズ \( k \) の主小行列式の総和（その数は \(\binom{n}{k}\) 個ある）を \( E_k(A) \) で表す。 我々は...

1.2.9.スペクトル半径定義定義 1.2.9　\( A \in M_n \) とする。\( A \) のスペクトル半径は次で定義される：\rho(A) = \max \{ \, |\lambda| : \lambda \in \sigma...

1.2.8.ブラウアーの定理例 1.2.8　ブラウアーの定理。\( x, y \in \mathbb{C}^n \)、\( x \neq 0 \)、そして \( A \in M_n \) とする。いま \( Ax = \lambda x \...

1.2.7例例 1.2.7　\( x, y \in \mathbb{C}^n \) とする。\( I + xy^{*} \) の固有値と行列式は何か？(0.8.5.11) および \(\operatorname{adj}(\alpha I)...

1.2.5 定義 1.2.5. \( A \in M_n \) とする。固有値 \(\lambda\) の 重複度 とは、固有多項式 \( p_A(t) \) の零点としての重複度をいう。明確にするため、固有値の重複度を 代数的重複度 と呼...

1.2.4特性多項式の観察観察 1.2.4　各 \( A = \in M_n \) の特性多項式は次数 \( n \) を持ち、\( p_A(t) = t^n - (\operatorname{tr} A) t^{n-1} + \cdots...

1.2.3.特性多項式の定義定義 1.2.3　形式的に変数 \( t \) の多項式として考えると、\( A \in M_n \) の特性多項式は次のように定義されます： p_A(t) = \det(t I - A)方程式 \( p_A(t...

1.1.問題131.1.P13　\( A \in M_{n} \) とし、\(\lambda, x\) が \(A\) の固有値・固有ベクトルの組であるとします。\(x\) が \(\operatorname{adj} A\) の固有ベクト...

1.1.問題1.1.P12　\(\lambda\) がA = \begin{pmatrix}a & c \\b & d\end{pmatrix} \in M_{2}の固有値であるとします。(1.1.P11) を用いて、次の行列のいずれかの列...

1.1.問題111.1.P11　\( A \in M_n \) と \( \lambda \in \sigma(A) \) が与えられているとします。このとき、\( A - \lambda I \) は特異（singular）であるため、(...

1.1.問題101.1.P10　次の例について詳細を示しなさい。この例は、無限次元の複素ベクトル空間上の線形作用素が固有値を持たない場合があることを示しています。 \( V = \{ (a_1, a_2, \dots) : a_i \in ...

1.1.問題91.1.P9　定義 (1.1.3) を用いて、次の実行列 \( A \) が実数の固有値を持たないことを示しなさい。 A = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} しかし、...

1.1.問題81.1.P8 「定理 1.1.9」の議論を使って「すべての正方実行列が実固有値を持つ」ことを示そうとした場合、この議論がなぜ成り立たないのかを説明しなさい。 定理 1.1.9　\( A \in M_n \) が与えられていると...

1.1.問題7問題 1.1.P7　\( A \in M_n \) がエルミート行列（Hermitian）であるとき、\( A \) のすべての固有値が実数であることを示しなさい。 エルミート行列とは、複素共役転置をとっても変わらない行列、す...